(教参)第4章 4 课时1 相似三角形的有关概念及判定定理1-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

4　探索三角形相似的条件 课时1　相似三角形的有关概念及判定定理1 学习目标 1. 掌握相似三角形的概念． 2. 初步掌握两个三角形相似的判定条件：两角分别相等的两个三角形相似，能够运用相似三角形的判定解决简单的问题. 素养目标 1. 经历两个三角形相似条件的探索过程，增强学生发现问题、提出问题的意识，发展学生的探究能力和归纳能力． 2. 发展学生的推理能力和逆向思维能力，体会特殊到一般的数学思想. 一、相似三角形 定义：三角分别　相等　、三边　成比例　的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的表示方法 如果两个三角形相似，如△ABC与△DEF相似，就记作△ABC∽△DEF，读作“三角形ABC相似于三角形DEF”，注意，只要是用“∽”连接的两个三角形一定是点A与点D，点B与点E，点C与点F对应的，也就是顺序必须一致，这样∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F分别是对应角，AB与DE，AC与DF，BC与EF也是分别对应的. 三、相似三角形的判定定理1 两角分别　相等　的两个三角形相似． 1. 如图，已知△ABC∽△DEF，则∠D的度数为(　C　) A. 35° B. 45° C. 65° D. 80° 解析：∵△ABC∽△DEF， ∴∠B＝∠E＝35°，∠C＝∠F＝80°， ∴∠D＝180°－35°－80°＝65°. 2. 如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC等于(　B　) A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 3. 如图，已知∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，则图中相似三角形共有(　D　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 4. 如图，已知∠CAE＝∠DAB，请你再补充一个条件：　∠B＝∠D(答案不唯一)　，使得△ABC∽△ADE. 解析：由∠CAE＝∠DAB可知∠CAB＝∠DAE，再增加一对对应角相等即可．(答案不唯一) 　相似三角形 如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB. 探究1: 求∠APB的大小； 解：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝60°， ∴∠A＋∠APC＝60°. ∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC＝∠PBD， ∴∠A＋∠B＝60°， ∴∠APB＝120°. 探究2: 说明线段AC，CD，BD之间的数量关系． 解：∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD. ∵△ACP∽△PDB， ∴＝， ∴PD·PC＝AC·BD， ∴CD2＝AC·BD. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长． 解：∵△ADE∽△ABC， ∴＝. ∵AD＝6，AE＝4，AB＝12， ∴＝， ∴AC＝8， ∴CD＝AC－AD＝8－6＝2. 　相似三角形的判定定理1 如图，在等边三角形ABC中，点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB和AC上，∠EDF＝60°. 探究1: 求证：△BDE∽△CFD； 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC. ∵∠CDE＝∠B＋∠BED，∠EDF＝60°， ∴∠CDF＝∠BED， ∴△BDE∽△CFD. 探究2: 若BE·CF＝9，求等边三角形ABC的边长． 解：由探究1，得△BDE∽△CFD， ∴BE∶CD＝BD∶CF， ∴CD·BD＝BE·CF＝9. ∵点D为线段BC的中点， ∴BD＝CD， ∴CD2＝9，∴CD＝3， ∴AB＝BC＝AC＝2BD＝6. 即等边三角形ABC的边长为6. 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　C　) A. 1对　　B. 2对　　C. 3对　　D. 4对 2. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C为线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的长度． 解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°. 又∵AC⊥CE， ∴∠A＝∠ECD， ∴Rt△ABC∽Rt△CDE， ∴＝. ∵ED＝1，BD＝4，C为线段BD的中点， ∴BC＝CD＝2， ∴＝， ∴AB＝2×2＝4. 知识点1　相似三角形的定义 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形． 知识点2　相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似． 【考点诠释】 (1)三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置上． (2)相似比有顺序性． (3)判断两个三角形是否相似，已有一组角相等，只要看是否还有一组角对应相等即可．解题过程中，特别注意公共角、对顶角、同角或等角等隐含条件． 知识点3　借助相似三角形解决问题 如果两个三角形相似，知道了相似比就能够解决与之相关的问题． 【考点诠释】 (1)两个三角形相似，知道两条对应边的值就能够得到相似比． (2)知道了两个三角形的相似比