(教参)第2章 阶段任务性复习 一元二次方程的解法归纳-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

课时2　应用一元二次方程(二) 学习目标 1. 能从实际问题中抽象出一元二次方程的知识，从实际问题中找到相等关系． 2. 能解决几何类、销售类和增长率类问题. 素养目标 进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的数学应用意识. 一、几何类问题 几何类问题主要涉及勾股定理、面积类、动点类问题． 二、增长率类问题 变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为　a(1±x)2＝b　. 三、销售类问题 销售类问题基本模型： 　单个利润×数量　＝总利润． 1. 一种药品原价每盒64元，经过两次降价后每盒49元．设两次降价的百分率都为x，则x满足方程(　D　) A. 49(1＋2x)＝64　　 B. 64(1－2x)＝49　　 C. 49(1＋x)2＝64　　 D. 64(1－x)2＝49 2. 某商店原来平均每天可销售某种水果150千克，每千克盈利7元，为了减少库存，商店决定降价销售．经市场调查，这种水果每千克降价1元，那么每天可多售出20千克，若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多元？设每千克降价x元，则所列方程是(　B　) A. (150＋x)(7＋x)＝960 B. (150＋20x)(7－x)＝960 C. (150＋20x)(7＋x)＝960 D. (150＋x)(7＋20x)＝960 解析：根据“每天利润＝每天销售量×每千克的利润”即可得出关于x的一元二次方程． 3. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s.同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过　10　 s，P，Q两点之间相距25 cm. 解析：设x s后P，Q两点相距25 cm，用x表示出CP，CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 　几何类问题 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动． 探究1: 如果点P，Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8 cm2? 解：设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2， 由题意，得(6－x)·2x＝8， 解得x＝2或x＝4， 经过2 s或4 s时，△PCQ的面积为8 cm2. 探究2: 如果点P，Q同时出发，在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 解：不存在．理由如下： 设y s时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半， 由题意，得(6－y)·2y＝××6×8， 整理，得y2－6y＋12＝0. 因为Δ＝36－4×12＜0，方程无实数根， 所以不存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q移动到点C 后停止，点P也随之停止运动，当△PBQ的面积为15 cm2时，点P运动的时间是(　A　) A. 3 s　　B. 3 s或5 s　　C. 4 s　　D. 5 s 　增长率类问题 某地区2020年投入教育经费2 500万元，2022年投入教育经费3 025万元． 探究1: 求2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率； 解：设2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得2 500(1＋x)2＝3 025， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：2020年至2022年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%. 探究2: 根据探究1所得的年平均增长率，预计2023年该地区将投入教育经费多少万元． 解：3 025×(1＋10%)＝3 327.5(万元)． 故预计2023年该地区将投入教育经费3 327.5万元． 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为(　D　) A. 125.6(1－x)2＝130 B. 125.6(1＋2x)＝130 C. 130(1－x)2＝125.6 D. 125.6(1＋x)2＝130 　销售类问题 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，据此规律，请回答： 探究1: 设每件商品降价x元，则此商品每天可多售出　2x　件