(教参)第2章 6 课时1 应用一元二次方程(一)-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

*5　一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1. 理解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 能灵活应用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 素养目标 1. 经历一元二次方程的根与系数的关系的探索过程，培养学生观察、分析、归纳和推理论证的能力． 2. 渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的能力. 一元二次方程的根与系数的关系 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝　－　，x1x2＝　　. 1. 若方程x2－kx－3＝0的一个根是3，则方程的另一个根是(　A　) A. －1　　B. 1　　C. 2　　D. －2 解析：设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出3a＝－3，求出即可． 2. 已知方程x2－3x＋1＝0的根是x1和x2，则x1＋x2－x1x2＝　2　. 解析：根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝3，x1x2＝1，将其代入x1＋x2－x1x2中即可求出结论． 　　一元二次方程的根与系数的关系 阅读材料： 如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，那么有x1＋x2＝－，x1x2＝.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如：x1，x2是方程x2＋6x－3＝0的两根，求x＋x的值．解法可以这样： ∵x1＋x2＝－6，x1x2＝－3， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6)2－2×(－3)＝42. 请你根据以上解法解答下列问题： 已知x1，x2是方程5x－1＝4x2的两根，不解方程求下列各式的值： 探究1: ＋； 解：∵5x－1＝4x2， ∴4x2－5x＋1＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴＋＝＝5. 探究2: (x1－x2)2. 解：(x1－x2)2＝x－2x1x2＋x ＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝－1 ＝. 已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根．求： (1)(x1＋x2)2的值； (2)＋的值； (3)(x1－x2)2的值． 解：(1)∵x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝1. ∴(1)(x1＋x2)2＝42＝16. (2)＋＝＝4. (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝16－4＝12. 知识点1　一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 【考点诠释】 考查一元二次方程根与系数的关系的前提是：①a≠0；②一元二次方程有解，即Δ≥0. 知识点2　一元二次方程的根与系数的关系的应用 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则求含有x1，x2的代数式的值时，其方法是把含x1，x2的代数式通过转化，变为用x1＋x2，x1x2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值，经常要运用到以下代数式及变形： ①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②＋＝； ③|x1－x2|＝＝. 【考点诠释】 将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0. 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $