(教参)第2章 5 一元二次方程的根与系数的关系-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

一元二次方程的解法归纳 问题：完成下列1～4题，思考一元二次方程解法的几种常见考查方式． 1. 方程x2＝4的解是(　C　) A. x1＝4，x2＝－4 　 B. x1＝x2＝2 C. x1＝2，x2＝－2 　 D. x1＝1，x2＝4 2. 一元二次方程x2＋4x＋1＝0配方后可化为(　C　) A. (x＋2)2＝5 　 B. (x－2)2－5＝0 C. (x＋2)2＝3 　 D. (x－2)2－3＝0 3. 根据要求解下列方程： (1)x2＋4x＋8＝2x＋10；(公式法) (2)2x2＋8x－6＝0.(配方法) 解：(1)x2＋4x＋8＝2x＋10， 整理，得x2＋2x－2＝0. ∵a＝1，b＝2，c＝－2， ∴Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－2)＝12>0， ∴x＝＝＝－1±， ∴x1＝－1＋，x2＝－1－. (2)2x2＋8x－6＝0， x2＋4x＝3， x2＋4x＋4＝7，即(x＋2)2＝7， ∴x＋2＝±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. 4. 解方程： (x＋2)2－4(x－3)2＝0. 解：∵(x＋2)2－4(x－3)2＝0， ∴[(x＋2)＋(2x－6)][(x＋2)－(2x－6)]＝0， ∴(3x－4)(－x＋8)＝0， 则3x－4＝0或－x＋8＝0， ∴x1＝，x2＝8. 类型1　直接开平方法 【例1】一元二次方程(x＋2)2＝0的解是　x1＝x2＝－2　. 【练习】 一元二次方程4x2－9＝0的根是　x1＝，x2＝－　. 解析：先把方程变形为x2＝，然后利用直接开平方法解方程． 类型2　配方法 【例2】用配方法解方程x2－6x＝3，配方正确的是(　D　) A. (x－3)2＝0　　 B. (x－3)2＝6　　 C. (x－3)2＝9　　 D. (x－3)2＝12 解析：配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【练习】 1. 将方程x2＋4x＋3＝0配方后，原方程变形为(　A　) A. (x＋2)2＝1　　 B. (x＋4)2＝1　　 C. (x＋2)2＝－3　　 D. (x＋2)2＝－1 2. 把方程x2－x－5＝0化成(x＋m)2＝n的形式得(　C　) A. ＝　　 B. ＝　　 C. ＝　　 D. ＝ 3. 把方程x2＋2x－3＝0化成(x＋m)2＝n的形式，则m＋n的值是　5　. 4. 已知x2＋y2＋2x－4y＋5＝0，则yx＝　　. 解析：先利用配方法得到(x＋1)2＋(y－2)2＝0，再根据非负数的性质得x和y的值，代入计算即可． 5. 解下列方程： (1)x2－5x＋1＝0； (2)x2＋2x－3＝0； (3)x2＋4x－1＝0； (4)x2＋5x＋5＝0. 解：(1)移项，得x2－5x＝－1， 配方，得x2－5x＋＝－1＋， 即＝， 两边开平方，得x－＝±， ∴x1＝，x2＝. (2)移项，得x2＋2x＝3， 配方，得x2＋2x＋1＝3＋1， 即(x＋1)2＝4， 两边开平方，得x＋1＝±2， ∴x1＝1，x2＝－3. (3)移项，得x2＋4x＝1， 配方，得x2＋4x＋4＝1＋4， 即(x＋2)2＝5， 两边开平方，得x＋2＝±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. (4)移项，得x2＋5x＝－5， 配方，得x2＋5x＋＝－5＋， 即＝， 两边开平方，得x＋＝±， ∴x1＝，x2＝. 类型3　根的判别式及公式法 【例3】一元二次方程y2＋2(y－1)＝3y的根的情况是(　A　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 解析：本题考查了根的判别式，总结一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系： (1)Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； (3)Δ＜0⇔方程没有实数根． 先化为一般形式，判断一元二次方程的根的情况，只要看方程根的判别式Δ＝b2－4ac的值的符号就可以了． 【练习】 1. 关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则点P(m－3，－m＋4)在(　B　) A. 第一象限　　 B. 第二象限　　 C. 第三象限　　 D. 第四象限 解析：利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m－1≠0且Δ＝22－4(m－1)≥0，解不等式得到m的范围，然后判断点P所在象限． 2. 关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，则k的最小整数值是　2　. 解析：先把方程化为一般形式：(2k－1)x2－8x＋6＝0，因为关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，所以2k－1≠0且Δ＜0，解得k＞，即可得到k的最小整数值． 3. 用公式法解方程x2＋3x＋1＝