(教参)第2章 4 用因式分解法求解一元二次方程-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

4　用因式分解法求解一元二次方程 学习目标 1. 理解用因式分解法求解一元二次方程的常见方法． 2. 会灵活使用各种方法求解一元二次方程. 素养目标 通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力及探索精神. 因式分解法求解一元二次方程 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的　乘积　时，令每个因式等于　0　，得到两个一元一次方程，从而达到降次的目的． 1. 方程x(x－2)＝0的解是(　B　) A. x1＝x2＝－2 　 B. x1＝0，x2＝2 C. x1＝0，x2＝－2 　 D. 无实数根 解析：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2. 一元二次方程(2x－1)(x＋3)＝0的根为　x1＝，x2＝－3　. 解析：∵(2x－1)(x＋3)＝0， ∴2x－1＝0或x＋3＝0， ∴x1＝，x2＝－3. 3. 解方程： (1)x2－4x－5＝0； (2)2x(x＋1)＝x＋1. 解：(1)∵x2－4x－5＝0， ∴(x－5)(x＋1)＝0， 则x－5＝0或x＋1＝0， ∴x1＝5，x2＝－1. (2)∵2x(x＋1)＝x＋1， ∴2x(x＋1)－(x＋1)＝0， 则(x＋1)(2x－1)＝0， ∴x＋1＝0或2x－1＝0， ∴x1＝－1，x2＝. 　十字相乘法 由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)． 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)． 探究1: 尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋　2　)(x＋　4　)； 探究2: 应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0. 解：∵x2－3x－4＝0， x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝0， ∴(x＋1)(x－4)＝0， 则x＋1＝0或x－4＝0，解得x＝－1或x＝4. 请依照十字相乘法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0； (2)x2－11x＋28＝0. 解：(1)∵x2＋8x＋7＝0， ∴(x＋1)(x＋7)＝0， ∴x＋1＝0或x＋7＝0， ∴x1＝－1，x2＝－7. (2)∵x2－11x＋28＝0， ∴(x－4)(x－7)＝0， ∴x－4＝0或x－7＝0， ∴x1＝4，x2＝7. 知识点　用因式分解法求解一元二次方程 若一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，则可以令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，从而降次求解．其理论依据是ab＝0，则a＝0或b＝0，或a＝b＝0. 【考点诠释】 (1)因式分解的常见方法有提公因式法、公式法、十字相乘法．完全平方公式对应直接开平方法． (2)一元二次方程的解法往往不止一种，能根据方程的特点正确选用合适的解答方法是难点． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $