(教参)第1章 阶段任务性复习 特殊平行四边形的解题技巧-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

特殊平行四边形的解题技巧 问题：完成下列1～6题，思考特殊平行四边形的常见考查方式． 1. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于点H，则AH的长等于(　B　) A. 　　B. 　　C. 4　　D. 5 解析：根据菱形的性质得出BO，CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC·AH，即可得出AH的长度． 2. 边长是4且有一个内角为60°的菱形的面积为(　C　) A. 2　　 B. 4　　 C. 8　　 D. 16 解析：本题主要考查了菱形的性质，菱形面积的计算有两种方法：一是底乘以高；二是对角线乘积的一半．根据菱形内角度数及边长求出一边上的高，利用边长乘以高即可． 3. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE，AF分别与BD相交于点M，N，下列说法：①BE＋DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若AB＝6，BM＝3，则MN＝5.其中正确的个数是(　A　) A. 3　　 B. 2　　C. 1　　D. 0 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是　　. 5. (1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.求证：BE＝AF； (2)如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ，判断MP与NQ是否相等？并说明理由． 　 图1　　　　　　图2 (1)证明：∵AF⊥BE， ∴∠EAF＋∠AEB＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∴∠ABE＋∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠ABE. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(ASA)， ∴BE＝AF. (2)解：MP与NQ相等．理由如下： 如图，作AF∥PM交CD于点F，BE∥NQ交AD于点E. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AM∥FP，BN∥EQ， ∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形， ∴AF＝MP，BE＝NQ. 又∵MP⊥QN， ∴BE⊥AF， 由(1)结论知AF＝BE， ∴MP＝NQ. 6. 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC，BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过点P分别作直线AC，BD的垂线PE，PF，垂足为E，F. 　 图1　　　　　　图2 (1)如图1，当点P在线段AB上时，PE＋PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明． (2)如图2，当点P在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值． 解：(1)PE＋PF的值是定值． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD， ∴PF∥AC， 同理PE∥BD. ∴四边形PFOE为矩形，故PE＝OF. 又∵∠PBF＝45°， ∴PF＝BF， ∴PE＋PF＝OF＋FB＝OB＝a. (2)∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD. ∵PF⊥BD， ∴PF∥AC， 同理PE∥BD. ∴四边形PFOE为矩形，故PE＝OF. 又∵∠PBF＝45°， ∴PF＝BF， ∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝a. 类型1　菱形的面积 【例1】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE的长是(　C　) A. 2.5　　B. 5　　C. 2.4　　D. 不确定 【练习】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为E，则DE＝　　. 类型2　菱形的内角为60°，构成等边三角形 【例2】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求菱形ABCD的面积． 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝10. ∵∠ABC＝60°，AE⊥BC， ∴∠BAE＝30°， ∴BE＝AB＝5，由勾股定理得AE＝5， ∴菱形ABCD的面积＝BC·AE＝50. 【练习】 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长． (1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形． (2)解：由(1)得四边形BCFE是菱形， ∴BC＝CF＝BE＝EF. ∵∠BEF＝120°