(教参)第1章 3 课时2 正方形的性质与判定-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

课时2　正方形的性质与判定 学习目标 1. 理解正方形的定义. 2. 从边、角、对角线三个方面理解正方形的性质与判定. 素养目标 经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，发展合情推理能力，获得数学体验，感受数学的乐趣. 正方形的判定 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 有一组邻边　相等　的矩形是正方形． 对角线　互相垂直　的矩形是正方形． 有一个角是　直角　的菱形是正方形． 对角线　相等　的菱形是正方形． 1. 下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的四边形是菱形．正确的有(　A　) A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个 解析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①是错误的；对角线相等的平行四边形才是矩形，可以举反例，例如等腰梯形，故②是错误的；有一组邻边相等的矩形是正方形，这是正方形的判定定理，故③是正确的；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故④是错误的． 2. 如图，在矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形还需满足的条件是　AB＝BC(答案不唯一)　.(填一个条件即可) 3. 如图，▱ABCD的对角线互相垂直，要使▱ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是　∠ABC＝90°(答案不唯一)　.(只需添加一个即可) 第3题图 4. 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，连接BP，DP. 第4题图 (1)求证：∠ABP＝∠ADP； (2)如果AB＝AP，求∠ABP的度数． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝45°. 在△ABP和△ADP中， ∴△ABP≌△ADP(SAS)， ∴∠ABP＝∠ADP. (2)解：∵AB＝AP， ∴∠ABP＝∠APB. 又∵∠BAP＝45°， ∴∠ABP＝67.5°. 　正方形的性质与判定 如图，已知在正方形ABCD中，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为M和N，PE⊥PB交AD于点E. 探究1: 求证：四边形MANP是正方形； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB. ∵PM⊥AD，PN⊥AB， ∴∠PMA＝∠PNA＝90°， ∴四边形MANP是矩形． ∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB， ∴PM＝PN， ∴四边形MANP是正方形． 探究2: 求证：EM＝BN. 证明：∵四边形MANP是正方形， ∴∠MPN＝90°. ∵PE⊥PB， ∴∠EPB＝90°， ∴∠MPE＋∠EPN＝∠NPB＋∠EPN＝90°， ∴∠MPE＝∠NPB. 在△EPM和△BPN中， ∴△EPM≌△BPN(ASA)， ∴EM＝BN. 1. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40 cm，则图1中对角线AC的长为　20　cm. 图1　　　　　　图2 2. 如图，一张矩形的纸片，要折出一个正方形，只要把一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的根据是　有一组邻边相等的矩形是正方形　. 解析：根据矩形性质得出∠B＝∠DAB＝90°，根据折叠性质得出∠AFE＝90°，得出四边形ABEF是矩形，根据正方形判定的依据推出即可． 知识点1　正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 知识点2　正方形的性质 正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质．可以从边、角、对角线三个角度去记忆、理解． 知识点3　正方形的判定 (1)菱形＋矩形的性质(①一个角为90°，②对角线相等)构成正方形． (2)矩形＋菱形的性质(①一组邻边相等，②对角线互相垂直)构成正方形． (3)对角线互相垂直、平分且相等的四边形为正方形． 【考点诠释】 (1)正方形的定义是正方形最基础的性质． (2)正方形的判定中，主要从两个方向：一是先证菱形，再加上矩形性质推正方形；二是先证矩形，再加上菱形性质推正方形． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $