(教参)第1章 3 课时1 正方形的性质-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

3　正方形的性质与判定 课时1　正方形的性质 学习目标 1. 理解正方形的定义. 2. 从边、角、对角线三个方面理解正方形的性质. 素养目标 通过观察、猜想、验证、推理等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力. 一、正方形的定义 有一组邻边　相等　，并且有一个角是　直角　的平行四边形叫做正方形． 二、正方形的性质 对称性：正方形是轴对称图形，对称轴有　四　条． 正方形是中心对称图形，对称中心是　对角线交点　. 边：正方形的对边　平行　，四条边　相等　. 角：正方形的四个角都是　直角　. 对角线：正方形的对角线　相等　且互相　垂直平分　. 正方形具备平行四边形、菱形、矩形的所有性质． 1. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为(　B　) A. 10°　　B. 15°　　C. 30°　　D. 120° 解析：根据正方形的性质得出∠ADC＝90°，AD＝DC，根据等边三角形的性质得出DE＝DC，∠EDC＝60°，推出∠ADE＝150°， AD＝ED，根据等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，根据三角形的内角和定理求出∠AED＝15°. 2. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　C　) A. 对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等 3. 对角线长为2的正方形的周长为　8　，面积为　4　. 解析：∵正方形的对角线长为2， ∴正方形的边长为2， ∴正方形的周长为4×2＝8， 面积为2×2＝4. 4. 如图，点M在正方形ABCD的对角线BD上．求证：AM＝CM. 证明：∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC. 在△ABM和△CBM中， ∴△ABM≌△CBM(SAS)， ∴AM＝CM. 　正方形的性质 如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上． 探究1: 判断DG与BE的位置关系，并说明理由； 解：DG⊥BE.理由如下： ∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG， ∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴∠DAG＝∠BAE. 在△DAG和△BAE中， ∴△DAG≌△BAE(SAS)． ∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°， ∴∠ABD＋∠ABE＝90°，即∠DBE＝90°. ∴DG⊥BE. 探究2: 若正方形ABCD的边长为，BE＝3，求正方形AEFG的对角线的长． 解：如图，连接GE， ∵△DAG≌△BAE， ∴DG＝BE＝3. ∵正方形ABCD的边长为， ∴BD＝2， ∴BG＝1. 在Rt△GBE中， GE＝＝＝， ∴正方形AEFG的对角线的长为. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，AF平分∠DAE，交CD于点F，且CF＝DF，连接EF. (1)求证：EF⊥AF； (2)若AB＝2，求CE的长． (1)证明：如图，延长BC交AF的延长线于点G. ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BC， ∴AD∥CG， ∴∠DAF＝∠FGC. 又∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴∠G＝∠EAF， ∴EA＝EG. 在△ADF和△GCF中， ∴△ADF≌△GCF(AAS)， ∴AF＝FG. ∵AE＝EG， ∴EF⊥AG， 即EF⊥AF. (2)解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝2. ∵△ADF≌△GCF， ∴AD＝CG＝2. 设CE＝a，则BE＝2－a， ∴AE＝EG＝EC＋CG＝2＋a. 在Rt△ABE中， 由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2， 即22＋(2－a)2＝(2＋a)2， 解得a＝， ∴CE＝. 知识点1　正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 知识点2　正方形的性质 对称性：正方形是轴对称图形，对称轴有四条． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线交点． 正方形的四个角都是直角，四条边相等． 正方形的对角线相等且互相垂直平分． 正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质． 【考点诠释】 (1)正方形的定义是正方形最基础的性质． (2)正方形的对角线互相垂直，因此正方形面积的求法也可以用对角线相乘除以2. 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $