(教参)第1章 2 课时3 矩形的性质与判定的综合应用-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

课时3　矩形的性质与判定的综合应用 学习目标 1. 充分理解矩形的定义. 2. 从边、角、对角线三个方面理解矩形的性质与判定. 素养目标 进一步发展学生的推理论证能力，体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法. 一、矩形的定义 有一个角是　直角　的平行四边形叫做矩形，它既是矩形最基础的性质，也是矩形最根本的判定方法． 二、矩形的特殊性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形不具有的特殊性质：①四个角都是　直角　；②对角线　相等　；③是轴对称图形，对称轴有　两　条． 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是(　C　) A. 两组对边分别平行且相等 B. 邻角互补 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°，则∠ODC＝　25°　. 解析：由平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，易证得四边形ABCD是矩形，继而可求得答案． 3. 如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，则线段EF的最小值为　　. 解析：连接CD，证四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短可得CD⊥AB时线段CD的长最小，进而解答即可． 　矩形的性质与判定 如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F. 探究1: 求证：四边形AEBO是矩形； 证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AEBO是平行四边形． 又∵菱形ABCD对角线交于点O， ∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°， ∴四边形AEBO是矩形． 探究2: 若CD＝3，求OE的长． 解：∵四边形AEBO是矩形， ∴EO＝AB. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD. ∴OE＝CD＝3. 如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在边CD上，折痕为AF.且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求BF的长； (3)求折痕AF的长． (1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在边CD上， ∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100. 又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100， ∴AD2＋DE2＝AE2， ∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°. 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． (2)解：设BF＝x cm， 则EF＝BF＝x cm，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝(8－x)cm. 在Rt△EFC中， EC2＋FC2＝EF2， 即42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5， 故BF＝5 cm. (3)解：在Rt△ABF中， 由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2. ∵AB＝10 cm，BF＝5 cm， ∴AF＝＝5(cm)． 知识点1　矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，它既是矩形最基础的性质，也是矩形最根本的判定方法． 知识点2　矩形的特殊性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形不具有的特殊性质：①四个角都是直角；②对角线相等；③是轴对称图形． 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点3　矩形的判定 判定方法一　平行四边形＋一个角为直角(定义) 判定方法二　平行四边形＋对角线相等 判定方法三　三个角为直角 【考点诠释】 (1)特殊性质，是指区别于普通平行四边形所独有的性质． (2)关于初中数学三角形线段中点常见考法：等腰三角形三线合一、中位线、中线补全等三角形、直角三角形斜边中线等． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $