(教参)第1章 2 课时1 矩形的性质-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

2　矩形的性质与判定 课时1　矩形的性质 学习目标 1. 理解矩形的定义. 2. 从边、角、对角线三个方面理解矩形的性质. 素养目标 在探究矩形的性质的活动中，培养学生严谨的推理能力及合作探究的精神，感受数学活动的乐趣. 一、矩形的定义 有一个角是　直角　的平行四边形叫做矩形． 二、矩形的性质 对称性：矩形是轴对称图形，对称轴有　两　条． 矩形是中心对称图形，对称中心是　对角线交点　. 角：矩形的四个角都是　直角　. 对角线：矩形的对角线　相等　. 三、直角三角形斜边中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的　一半　. 1. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　D　) A. AB∥CD　　 B. AD＝BC　　 C. ∠AOB＝45°　　 D. ∠ABC＝90° 2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为(　C　) A. 10　　 B. 5　　C. 2.5　　D. 2.25 解析：先由矩形的性质可得AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD＝5，再由三角形中位线定理可得PQ＝DO＝2.5. 3. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝10，则CD＝　5　. 解析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得CD的长． 　矩形的性质 如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P在AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，AB＝6，BC＝8. 　 图1　　　　　　图2 探究1: 如图1，若点P为AD的中点，分别求PE，PF的值(提示：连接OP，利用中位线和面积来求)； 解：如图1，连接OP. 图1 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC＝8， CD＝AB＝6. ∵O是AC的中点，P是AD的中点， ∴OP∥CD，OP＝CD＝3，AP＝AD＝4，∠APO＝90°， ∴AO2＝OP2＋AP2， ∴AO＝5. ∵AO·PE＝AP·OP， ∴5PE＝4×3， ∴PE＝，同理可得PF＝. 探究2: 如图2，若点P为AD上任意一点，求PE＋PF的值． 解：如图2，过点A作AH⊥BD于点H，连接OP. 图2 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OD， ∴AC＝BD＝＝10. ∵S△AOD＝S△APO＋S△OPD， ∴OD·AH＝OA·PE＋OD·PF， ∴PE＋PF＝AH. ∵AH＝＝， ∴PE＋PF＝. 如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接DE，BF. (1)求证：BE＝DF； (2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEA＝∠DFC＝90°， ∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴BE＝DF. (2)解：四边形BEDF是平行四边形．理由如下： ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF. 又∵BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 知识点1　矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 知识点2　矩形的性质 对称性：矩形是轴对称图形，对称轴有两条；矩形是中心对称图形，对称中心是对角线交点． 边：矩形的两组对边分别平行且相等．(平行四边形的性质) 角：矩形的四个角均为直角． 对角线：矩形的对角线相等． 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【考点诠释】 (1)矩形的定义是矩形最基础的性质． (2)矩形的对角线相等，这是矩形区别于菱形的特殊性质． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $