(教参)第1章 1 课时3 菱形的性质与判定的综合应用-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

课时3　菱形的性质与判定的综合应用 学习目标 1. 充分理解菱形的定义. 2. 从边、角、对角线三个方面理解菱形的性质与判定. 素养目标 1. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法. 2. 感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识. 一、菱形的定义 有一组邻边　相等　的　平行四边形　叫做菱形．它既是菱形的性质，也是菱形的判定． 二、菱形的性质与判定的应用 (1)菱形的对角线互相　垂直　. (2)求菱形的面积有两种方法： 一是底乘高；二是　对角线相乘除以2　. (3)判定一个平行四边形是否为菱形，除却邻边相等，具备菱形的特殊性质(对角线互相垂直)，也可以判定其为菱形． 1. 下列关于菱形的说法中不正确的是(　C　) A. 菱形的四条边相等 B. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形ABCD的周长为　20　，面积为　24　. 解析：首先由AC与BD互相垂直且平分，可证得四边形ABCD是菱形，又由BD＝6，AC＝8，即可求得答案． 3. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D. ∵CE＝CF，∴BE＝DF. 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(SAS)， ∴AE＝AF. 　菱形的性质与判定 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF. 探究1: 求证：四边形ABEF是菱形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EBF＝∠AFB. ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AB＝AF. ∵AE⊥BF， ∴∠AOB＝∠EOB＝90°. ∵BO＝BO， ∴△BOA≌△BOE(ASA)， ∴AB＝BE， ∴BE＝AF. 又∵BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形． 探究2: 若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积． 解：如图，作FG⊥BC于点G. ∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8， ∴OE＝AE＝3，OB＝BF＝4， ∴在Rt△BOE中，BE＝＝5， ∴BC＝BE＋CE＝8. ∵S菱形ABEF＝AE·BF＝BE·FG， ∴5FG＝×6×8， ∴FG＝， ∴S▱ABCD＝BC·FG＝. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过A，C两点分别作AD∥BC，CD∥AB交于点D，延长DC至点E，使CE＝DC，连接BE. (1)求证：四边形ACEB是菱形； (2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积． (1)证明：∵AD∥BC，CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC. ∵DC＝CE， ∴AB＝CE. ∵AB∥CD， ∴AB∥CE， ∴四边形ACEB是平行四边形． 又∵AB＝AC， ∴四边形ACEB是菱形． (2)解：如图，连接AE，交BC于点O. ∵四边形ACEB是菱形， ∴AE⊥BC. ∵AB＝4，BC＝6， ∴OB＝BC＝3， ∴在Rt△AOB中， OA＝＝＝， ∴AE＝2OA＝2， ∴S菱形ACEB＝AE·BC＝×2×6＝6. 知识点1　菱形定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形．它既是菱形的性质，也是菱形的判定． 知识点2　菱形的特殊性质 1. 具有平行四边形的一切性质． 2. 菱形的四条边相等． 3. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 4. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴． 知识点3　菱形的面积 方法一　底乘高 方法二　对角线相乘除以2 【考点诠释】 不仅是菱形，所有的对角线互相垂直的四边形，其面积都可以通过对角线相乘除以2去解决． 知识点4　菱形的判定 判定方法一　平行四边形＋邻边相等(定义) 判定方法二　平行四边形＋对角线互相垂直 判定方法三　四条边都相等 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $