(教参)第1章 1 课时2 菱形的判定-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

课时2　菱形的判定 学习目标 1. 理解菱形的定义. 2. 从边、角、对角线三个方面理解菱形的判定. 素养目标 1. 经历菱形的判定的探究过程，培养学生观察推理的意识，发展学生的逻辑推理能力和演绎能力. 2. 感受数学的和谐美、对称美，激发学生学习数学的热情，树立学好数学的信心. 菱形的判定 边：有一组邻边　相等　的　平行四边形　是菱形．(定义是最根本的判定方法) 四边　相等　的　四边形　是菱形． 对角线：对角线　互相垂直　的　平行四边形　是菱形． 1. 下列说法中，正确的是(　B　) A. 两邻边相等的四边形是菱形 B. 一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形 C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线垂直的四边形是菱形 2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，BO＝DO，要使四边形ABCD为菱形，则需添加的条件为　AB＝BC(答案不唯一)　.(填一个即可) 3. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. 又∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE. ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBF， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴四边形ABFE是菱形． 　菱形的判定 如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，DE∥BF，连接BE，DF. 探究1: 求证：△ADE≌△CBF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB， ∴∠DAE＝∠BCF. ∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE， ∴∠AED＝∠CFB. 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF(AAS)． 探究2: 若BE＝DE，求证：四边形ABCD是菱形． 证明：如图，连接BD. 由探究1得△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF. 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形． ∵BE＝DE， ∴四边形EBFD为菱形， ∴BD⊥EF，即BD⊥AC. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF. (1)求证：四边形BCEF是平行四边形； (2)若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形？ (1)证明：在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE， ∴BC∥EF， ∴四边形BCEF是平行四边形． (2)解：当CD＝时，四边形BCEF是菱形． 理由如下： 如图，连接BE，交CF于点H. ∵AC＝DF， ∴AC－FC＝DF－FC，即AF＝CD. 当四边形BCEF是菱形时，BE⊥CF，FH＝CH＝FC，EF＝BC＝3. 在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝＝5. ∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BH， ∴5BH＝3×4， ∴BH＝. 在Rt△BCH中，BH＝，BC＝3， ∴CH＝＝＝， ∴FC＝2CH＝， ∴AF＝CD＝AC－FC＝5－＝， ∴当CD＝时，四边形BCEF是菱形． 知识点　菱形的判定 边：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形． (2)四边相等的四边形是菱形． 对角线：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (2)对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．(教材上已删除，需证明) 【考点诠释】 (1)菱形的定义是最基础的性质，也是最根本的判定方法． (2)菱形的性质与判定按照边、角、对角线的方法进行记忆，利于形成统一的记忆模式． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $