(教参)第1章 1 课时1 菱形的性质-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 课时1　菱形的性质 学习目标 1. 理解菱形的定义. 2. 从边、角、对角线三个方面理解菱形的性质. 素养目标 经历探索菱形的基本概念和性质的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维能力，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力. 一、菱形的定义 有一组邻边　相等　的平行四边形叫做菱形． 二、菱形的性质 对称性：菱形是轴对称图形，对称轴有　两　条． 菱形是中心对称图形，对称中心是　对角线交点　. 边：菱形的四条边都　相等　. 对角线：菱形的对角线互相　垂直　. 1. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是(　D　) A. 12　　B. 16　　C. 20　　D. 24 解析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解． 2. 已知一个菱形的两条对角线长分别为4 cm和6 cm，则这个菱形的面积为　12　 cm2. 解析：根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可． 3. 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN. 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C. 在△AMD和△CND中， ∴△AMD≌△CND(ASA)． ∴AM＝CN， ∴AB－AM＝BC－CN， ∴BM＝BN. 　菱形的性质 如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是射线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F. 　　 图1　　　　　　　　　图2 探究1: 对角线AC的长是　12　，菱形ABCD的面积是　96　； 解析：连接AC，交BD于点G，图略． ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， ∴BG＝BD＝×16＝8. 在Rt△ABG中， 由勾股定理，得AG＝＝＝6， ∴AC＝2AG＝2×6＝12， ∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×16＝96. 故答案为12；96. 探究2: 如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否会发生变化？请说明理由． 解：不变．理由如下： 如图1，连接AC，交BD于点G，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△ADO， 图1 ∴BD·AG＝AB·OE＋AD·OF， 即×16×6＝×10·OE＋×10·OF， ∴OE＋OF＝， 即OE＋OF的值不会发生变化． 探究3: 如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE与OF之间的数量关系，并说明理由． 解：变化，OE－OF＝9.6.理由如下： 如图2，连接AC，交BD于点G，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△ADO， 图2 ∴BD·AG＝AB·OE－AD·OF， 即×16×6＝×10·OE－×10·OF， 解得OE－OF＝9.6，是定值，不变． ∴OE＋OF的值变化，OE与OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，分别交CB，CD的延长线于点E，F. (1)求证：△ABE≌△ADF； (2)若CD＝5，AE＝3，则四边形AECF的面积为　27　. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC， ∴180°－∠ABC＝180°－∠ADC， 即∠ABE＝∠ADF. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠E＝∠F＝90°. 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF(AAS)． (2)解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5， ∴AB＝CD＝AD＝BC＝5， ∴在Rt△AEB中， BE＝＝＝4， ∴四边形AECF的面积＝S△ABE＋S△ADF＋S菱形ABCD＝×3×4＋×3×4＋5×3＝27. 故答案为27. 知识点1　菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 知识点2　菱形的性质 对称性：菱形是轴对称图形，对称轴有两条；菱形是中心对称图形，对称中心是对角线交点． 边：菱形的邻边相等(定义)；菱形的四条边都相等． 角：菱形的两组对角分别相等，与平行四边形的性质相同． 对角线：菱形的对角线互相平分且垂直． 【考点诠释】 (1)菱形的定义是菱形最基础的性质． (2)菱形的对角线互相垂直，因此就可以得到关于菱形面积的特殊求法，即对角线相乘除以2. (3)菱形的对角线平分一组对角，教材上没有呈现，理解后可以直接应用． 5/6 学科网（北京）股份有限公司 $