专题03 绝对值中的最值与化简压轴问题专训-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 绝对值中的最值与化简压轴问题专训 【题型目录】 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简问题综合 题型训练： 绝对值中的10道最值问题训练 绝对值中的10道化简问题训练 绝对值最值问题概述： 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果. 绝对值化简问题概述： 绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题. 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（2022秋·湖北十堰·七年级统考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究归纳：数轴上表示5和2的两点之间的距离是3；数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4；则数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是______； 结论：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． (2)应用： ①表示为数轴上数______和数_____两点之间的距离；表示为数轴上数______和数_______两点之间的距离． ②当|a﹣4|+的值最小时，a的取值范围______，最小值是______． 【变式训练】 【变式1】（2022秋·山东日照·七年级统考期中）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，则___________，___________，点A和点B之间的距离为___________． (2)设点Р在数轴上对应的数为，若，则___________． (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点Р表示的数为x． ①若点Р在点M、N之间，则___________． ②若点Р表示的数是，现在有一蚂蚁从点Р出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？ 【变式2】（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）我们知道，表示数a对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点A、B分别表示数a、b，那么A、B两点之间的距离为，利用此结论，回答下列问题： (1)数轴上表示3的点和原点的距离是 ； (2)数轴上表示3和的两点之间的距离是 ； (3)数轴上表示x和的两点之间的距离为2，那么x的值为 ； (4)直接写出的最小值为 ； 【变式3】（2022秋·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是___________. (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为___________. (3)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___________ (4)若x表示一个有理数，则当x在什么范围内时，有最小值？请写出x的范围，并求出这个最小值. 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧