1.3 正方形的性质与判定（第二课时 正方形的判定）（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第二课时 正方形的判定 北师大版 九年级上册 学习目标 1）探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。 2）能根据正方形的判定条件进行有关论证和计算。 重点 探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。 难点 能根据正方形的判定条件进行有关论证和计算。 课前导入 【提问】什么是正方形？正方形有哪些性质？ 正方形概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分； ④既是中心对称图形也是轴对称图形. 课前导入 【提问】结合之前所学，如何判断四边形是平行四边形、矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 探索与思考 根据正方形的定义,可得正方形的第一个判定的方法： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。 【思考】还有其它的判定方法吗？ A B C D 探索与思考 【思考】矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 探索与思考 正方形 【思考】菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？ 探索与思考 邻边相等 一个角是直角 有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 课堂小结 如何判定一个四边形是正方形呢？ 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条： 1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等。 2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角。 探索与思考 如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样才能剪出一个正方形？ 探索与思考 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论。 平行四边形 矩形 正方形 菱形 一个角是直角 一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 对角线相等 对角线相互垂直 有一组邻边相等且有一个角是直角 探索与思考 正方形判定方法2：有一组邻边相等的矩形是正方形。 已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC， 证明：四边形ABCD是正方形。 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠A=∠A=∠A=90°，AB=CD，AD=BC 又∵AB=BC，∴AB=BC=CD=AD ∴ABCD 是正方形 探索与思考 正方形判定方法3：有一个角是直角的菱形是正方形。 已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°， 证明：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB=AD 又∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形。 探索与思考 正方形判定方法4：对角线互相垂直的矩形是正方形。 已知：四边形ABCD是矩形，AC⊥DB。 求证：四边形ABCD是正方形。 A B C D O 证明： ∵四边形ABCD是矩形, ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=90° ∵AC⊥DB, ∴四边形ABCD是菱形,而∠ADC=90° ∴四边形ABCD是正方形 探索与思考 已知：四边形ABCD是菱形，AC=BD， 证明：四边形ABCD是正方形。 证明：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC 又∵AC = BD ， ∴四边形ABCD是矩形,而AB=BC ∴四边形ABCD是正方形 正方形判定方法5：对角线相等的菱形是正方形。 探索与思考 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等且有一个角是直角 = = 课堂小结 例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, 课堂练习 例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么? ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边