第07讲 拓展二 基本不等式与对勾函数（知识清单+7类题型精讲）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第07讲 拓展二基本不等式与对勾函数 一、知识清单 1、基本不等式常用技巧 利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数）、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：； 凑系数，例：； ②拆：例：； ③除：例：； ④1的代入：例：已知，求的最小值. 解析：. ⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值. 解析：，即，解得. 2、对勾函数 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等. 函数 （） 常考对勾函数 （） 定义域 定义域 值域 值域 奇偶性 奇函数 奇偶性 奇函数 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 单调性 在，上单调递增；在，单调递减 二、题型精讲 题型01直接法 【典例1】（2023·高一课时练习）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【典例2】（2023春·安徽六安·高一校考期中）若，则（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值2 【典例3】（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）代数式取得最小值时对应的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】（2023秋·福建·高二统考学业考试）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．2 D．4 题型02凑配法 【典例1】（2023·高一课时练习）若，则的最值情况是（    ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 【典例2】（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知非负数满足，则的最小值是___________. 【典例3】（2023·高一课时练习）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是__________． 【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）若，则函数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________. 题型03分离法 【典例1】（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知，则的最小值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为________. 【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的最小值是______． 【变式1】（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【变式2】（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考期中）解答下列问题： (1)已知，求函数的最小值； (2)已知，求函数最小值． 题型04换元法 【典例1】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________. 【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）当时，的最小值为________. 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 题型05常数代换“1”的代换 【典例1】（2023·高一单元测试）设，且，则的最小值为__________． 【典例2】（2023·辽宁辽阳·统考二模）若，则的值可以是__________． 【典例3】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为__________. 【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为______． 【变式1】（2023春·浙江·高二统考学业考试）正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．3 B．7 C． D． 【变式2】（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________． 【变式3】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【变式4】（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知正数、满足，则的最小值为_______. 题型06消元法 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）