专题03 绝对值中的最值与化简压轴问题专训-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题03 绝对值中的最值与化简压轴问题专训 【题型目录】 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简问题综合 题型训练： 绝对值中的10道最值问题训练 绝对值中的10道化简问题训练 绝对值最值问题概述： 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果. 绝对值化简问题概述： 绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题. 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【变式训练】 【变式1】（2022秋·全国·七年级期末）我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示2和5的两点的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是_______，数轴上表示15和的两点之间的距离是_______． (2)数轴上表示x和的两点A，B之间的距离可以表示为______（用绝对值符号表示）．如果，那么x是_______． (3)若式子，则___________ (4)式子的最小值是______． 【变式2】（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）阅读下面的材料：我们知道，在数轴上，表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3 请根据上面的材料解答下列问题： (1)数轴上有理数－6对应的点到有理数3对应的点的距离是_____； (2)表示有理数a对应的点与有理数_____对应的点的距离；如果，那么有理数a的值是_____； (3)如果，求有理数a的值． 【变式3】（2023秋·陕西西安·七年级校联考期末）【阅读】 表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)若，则__________． (2)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到和所对应的点的距离之和为． (3)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离__