第21讲 弧度制-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第21讲 弧度制 1．了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性； 2．能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制； 3．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题。 一、弧度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 二、角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应。 四、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 考点一：角度制与弧度制的概念辨析 例1．下列说法中，正确的是（ ） A．1弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度来表示的角都是正角 【变式训练】（多选）下列各说法中，正确的是（ ） A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C．根据弧度的定义，一定等于弧度 D．无论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关 考点二：角度制化为弧度制 例2．（ ） A． B． C． D． 【变式训练】的弧度数为（ ） A． B． C． D． 考点三：弧度制化为角度制 例3．若角，则角θ对应的角度数是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式训练】把弧度化成角度：______ 考点四：扇形的弧长计算 例4．已知扇形的弧长为2cm，半径为2cm，则该扇形的圆心角______ 【变式训练】荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（ ） A．米 B．米 C．13.6米 D．198米 考点五：扇形的面积计算 例5．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面，已知扇面展开的中心角为，外圆半径为40cm，内圆半径为20cm，那么制作这样一面扇面至少需要用布料为__________cm2    考点六：扇形中的最值问题 例6．已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． （1）若，，求扇形的弧长l； （2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【变式训练】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． （1）若，求扇形的弧长． （2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 1．下列命题中，正确的是（ ） A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．用弧度制表示为（ ） A． B． C． D． 3．某钟表里分针按正常方式走了2小时 20 分， 则对应时针转过的弧度数为（ ） A． B．