3.2.3 函数的奇偶性（课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质 3.2.3 函数的奇偶性 高中数学/人教A版/必修一 知识篇 素养篇 思维篇 3.2.3 函数的奇偶性 观察函数f(x)＝x2和g(x)＝2-的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 图形特征：图象关于y轴对称； 符号表达： ？ 1 偶函数 符号表达： x∈R, f(-x)=f(x) 称y=x2为偶函数. 同理，y=2-也是偶函数. 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有-x∈I，且 f(-x)＝f(x)， 那么函数f(x)就叫做偶函数. 例如，函数f(x)=x2+1, g(x)=都是偶函数. 观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 图形特征：图象关于原点O对称； 符号表达： ？ 2 奇函数 符号表达： x∈R, f(-x)=-f(x) 称y=x为奇函数. 同理，y=也是奇函数. 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有-x∈I，且 f(-x)＝-f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数. 例如，函数 f(x)=x3就是奇函数. x y o y=x3 练一练 1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t= . 答案：t = 1 练一练 2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5; (3)f(x)=x+; (4)f(x)=; (5)f(x)=x-1; (6)f(x)=x2 , x∈[-3, 7]. 答案：(1) 偶 ; (2) 奇 ; (3) 奇 ; (4) 偶 ; (5) 非奇非偶 ; (6) 非奇非偶 ; 知识篇 素养篇 思维篇 3.2.3 函数的奇偶性 1.已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则 f(-m)= . 解：令g(x)=ax2-bx，易知 g(-x)=-g(x) 又 g(m)= f(m)-4=1, 从而g(-m)=-g(m)=-1 故 f(-m)=g(-m)+4= 3 方法：利用奇函数的性质，推导出f(m)与f(-m)的关系. 2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)、g(x)的解析式. 解：用-x替换f(x) +g(x)=x2+2x中的x，得 f(-x)+g(-x)=x2-2x ① 由已知，f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x)， 所以有： f(x)-g(x)=x2-2x ② 联立①②，解得f(x)=x2 ，g(x)=2x 方法：利用奇偶性质构造对偶式，是解决此类问题的关键. 3.函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x)+1； 求f(x)的解析式. 解：由 f(-0)=-f(0)知 f(0)=0 当x<0时，-x>0 , 从而f(-x)=-x(1-x)+1, 又f(-x)=-f(x) 所以x<0时 f(x)=x(1-x)-1， 故f(x)解析式为 f(x)= 4.已知f(x)，g(x)是R上的奇函数，试判断 y=f(x)+g(x), y=f(x)g(x), y=f[g(x)]的奇偶性. 解：因为f(-x)+g(-x)=-(f(x)+g(x)) 所以y=f(x)+g(x)是R上的奇函数； 因为f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=f(x)g(x) 所以y=f(x)g(x)是R上的偶函数； 因为f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)] 所以y=f[g(x)]是R上的奇函数. 方法：判断组合函数或复合函数的奇偶性时，先验证定义 域关于原点对称，再验证f(x)与f(-x) 的关系. 知识篇 素养篇 思维篇 3.2.3 函数的奇偶性 5.定义在［-5,5]上的奇函数f(x)部分图象如图， 则不等式 x f(x)>0 的解集为 . 方法：奇函数图象关于坐标原点对称；数与形结合，可直接 读取不等式的解集. 答案：(-5