3.2.1 函数的单调性（课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质 3.2.1 函数的单调性 高中数学/人教A版/必修一 知识篇 素养篇 思维篇 3.2.1 函数的单调性 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据. 数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”(如图) 1 2 3 t y o 20 40 60 80 记忆的数量(百分数) 天数 100 你能用自然语言描述记忆量y随着时间t的变化而变化的趋势吗？ 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫做函数的单调性． 下面进一步用符号语言刻画这种性质． 先研究二次函数 f(x)＝x2 的单调性. 如图，图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小． 用符号语言描述:任意取x1，x2∈(－∞,0］，得到f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，那么 当x1＜x2时，有f(x1)>f(x2)． 这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间(－∞,0］上是单调递减的. 如图，图象在y轴右侧部分从左到右是上升的，也就是说，当x>0时，y随x的增大而增大． 用符号语言描述:任意取x1，x2∈[0,+∞)，得到f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，那么 当x1＜x2时，有f(x1)＜ f(x2)． 这时我们就说函数 f(x)＝x2 在区间[0,+∞)上是单调递增的. 思考： 函数f(x)＝-x2 和 f(x)＝各有怎样的单调性？ 1 函数的单调性 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上单调递增. 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. x y o m n f(x1) x1 x2 f(x2) 1 函数的单调性 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间D上单调递减. 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. f(x1) x1 x2 f(x2) O x y m n 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间． 例1.上图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数? 函数 f(x)= 有单调递减区间 ； 能否说 f(x)= 是单调递减函数？为什么？ 思考 例2.根据定义证明以下各命题： 2 函数的单调性的证明 (1)函数f(x)= 在定义域上是增函数; (2)函数 f(x)=-x3 在定义域上是减函数. 证明：(1)定义域为[0, + ∞). x1,x2[0, + ∞)，且x1<x2，有 y1-y2= = 由x1<x2 得 <0 ,即y1<y2 所以，函数f(x)=在定义域上是增函数. 取点 作差 变形 定号 结论 例2.根据定义证明以下各命题： 2 函数的单调性的证明 (1)函数f(x)= 在定义域上是增函数; (2)函数 f(x)=-x3 在定义域上是减函数 证明：(2)定义域为R. x1,x2R，且x1<x2，有 y1-y2 = x23-x13 =(x2-x1)(x22-x1x2+x12) =(x2-x1)[(x2-x1)2+x12] 由x1<x2 及 (x2-x1)2+x12>0 得 y1-y2 > 0 ,即y1>y2 所以，函数f(x)=-x3 在定义域上是减函数. 根据定义证明函数 f(x)=x+ 在[1, +∞)上是增函数. 练一练 知识篇 素养篇 思维篇 3.2.1 函数的单调性 1）函数y＝x2－4x＋5的单调区间是 . 问题系列： 答案：单调递增区间：[2, +∞) 单调递减区间：[-∞,