3.1.1 函数的概念及其表示（第一课时课件）-2023-2024学年高一数学同步备课《知识•素养•思维》精讲课件（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念 高中数学/人教A版/必修一 知识篇 素养篇 思维篇 3.1.1 函数的概念 客观世界中有各种各样的运动变化现象． 例如，天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营业里程逐年增加，已突破２万公里…… 所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述， 并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律． 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具. 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.那么就说y是x的函数，其中x叫做自变量. 初中所学的函数的概念: 正比例函数:y=kx (k≠0); 反比例函数: y = (k≠0); 一次函数: y=kx+b (k≠0); 二次函数:y=ax2+bx+c (a≠0) 初中已经学过的函数: 然而，客观世界纷繁复杂，变量之间的函数模型远不止这些，复杂程度也不是初中的函数定义所能涵盖的. 先分析以下问题： 现实中的有关问题 1 问题１ 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系可以表示为: S＝350t ① t的变化范围:A1＝｛t｜0≤t≤0.5｝， S的变化范围:B１＝｛S｜0≤S≤175｝． 对于A１中任一t，按照①，B１中都有唯一确定的S和它对应. 这里S和t是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数． 1 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ d的变化范围:A2＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}， w的变化范围:B2＝{350, 700, 1050, 1400, 1750, 2100}． 对于A2中任一d，按照②，B2中都有唯一确定的w和它对应. 显然，工资w 是一周工作天数d 的函数，其对应关系是 w＝350d ② 现实中的有关问题 1 问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图． 如何根据该图确定这一天内任一时刻tｈ的空气质量指数的值I？ t的变化范围:A3＝{t｜0≤t≤24}， I的变化范围:B3＝{I｜0＜I＜150}． 对于A3中任一t，按照图1，B3中都有唯一确定的I和它对应. 图1 现实中的有关问题 1 问题4 国际上常用恩格尔系数r(r＝食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高． 年份y的范围:A4＝{2006，2007，…，2015}， 系数r的范围:B4＝{r｜0＜r≤1}． 对于A4中任一y，按照表1，B4中都有唯一确定的r和它对应. 现实中的有关问题 函数的概念 2 上述问题１～问题４中的函数有哪些不同点和共同特征？ 共同特征： (１)都包含两个非空数集，用A，B来表示； (２)都有一个对应关系； (３)尽管对应关系表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 不同点： 问题1和问题2是用解析式刻画变量之间的对应关系， 问题3是用图象刻画变量之间的对应关系， 问题4是用表格刻画变量之间的对应关系. 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系 f ，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称 f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作: y＝f(x)，x∈A ． 除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便， 我们引进符号f 统一表示对应关系． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域. 值域是数集B的子集. 函数的概念 2 数学抽象 函数 对应关系 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 R R R R R 函数的概念 2 请你说出问题1～问题4中各函数的定义域和值域.