第七章复数知识点总结梳理-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

新教材人教A版2019版数学必修第二册 第七章知识点清单 目录 第七章　复数 7. 1　复数的概念 7. 2 复数的四则运算 7. 3　复数的三角表示 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第七章　复数 7. 1　复数的概念 7. 1. 1　数系的扩充和复数的概念 一、复数的相关概念及代数表示 1. 复数 (1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. (2)表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2. 复数集：全体复数构成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做复数集. 二、两个复数相等的充要条件 1. 我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d(a，b，c，d∈R). 三、复数的分类 1. 复数z=a+bi(a，b∈R)的分类：复数 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示 四、对复数概念的理解 1. 处理复数相关概念的问题时，首先要把复数化为z=a+bi(a，b∈R)的形式，确定复数的实部和虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解. 五、复数相等的充要条件的应用 1. 复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是： (1)分别确定两个复数的实部与虚部； (2)利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程(组)求解. 7. 1. 2　复数的几何意义 一、复平面 1. 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 二、复数的几何意义 三、复数的模 1. 复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数 z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|. 即|z|=|a+bi|= . 四、共轭复数 1. 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 　　 2. 特别地，实数a的共轭复数仍为a. 五、复数几何意义的应用 1. 复数与复平面内点的关系的应用 (1)复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标. (2)已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部满足的条件，列方程(组)或不等式(组)求解即可. 2. 复数与复平面内向量的关系的应用 　　解决此类问题时一般先写出向量或点的坐标，根据向量的坐标运算求出所求向量的坐标，从而得到向量所对应的复数. 六、复数模的计算 1. 复数模的计算一般有以下两种方法 (1)根据复数模的计算公式|a+bi|= (a，b∈R)可把复数模的问题转化为实数问题解决； (2)根据复数模的几何意义，即复数z=a+bi(a，b∈R)的模就是复数z在复平面内对应 的点Z(a，b)到坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决. 2. 重要结论：复数z在复平面内对应的点为Z，r表示大于0的常数，则|z|=r表示点Z的轨迹是以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 7. 2 复数的四则运算 7. 2. 1　复数的加、减运算及其几何意义 一、复数的加法与减法 1. 复数的加、减法法则 　　设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 2. 复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 二、复数加、减法的几何意义 1. 设复数z1，z2在复平面内对应的向量分别为， (O为坐标原点)，则 复数加法的几何意义 以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1+z2所对应的向量为+= 复数减法的几何意义 z1-z2所对应的向量为-=   2. 复平面内两点间的距离公式 设复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别为Z1(a，b)，Z2(c，d)，则|z1-z2|