湖北省宜昌市当阳市第一高级中学2024届高三模拟考试数学试题（五）

2024届高三模拟考试数学试题（五） 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．的展开式中的系数为56，则的值为 A． B． C． D． 4．在中，，，是的中点，则 A． B． C． D． 5．牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”， “牟合方盖”的体积的计算则是利用南北朝时期祖暅提出的理论：“幂势既同，则积不容异”计算出来的，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3为底面边长为，高为的正四棱锥，由祖暅原理可知八分之一的正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”，即图2和图3中的阴影部分的面积相等，则根据如图可知由棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的体积为 A． B． C． D． 6．已知函数则函数的图象大致是 7．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行．某校的甲、乙、丙、丁四名大学生被平均分成两组，分别做冰球、冰壶比赛项目的志愿者，则甲、乙不在同一组的概率为 A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，过作的外角平分线的垂线，垂足为，则的长为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．在新冠肺炎疫情防控期间，某大型连锁药店开通网上销售业务，每天能完成300份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该药店某日积压400份订单未配货，预计第二天新订单超过500份的概率为0.03．志愿者每人每天能完成35份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单配货的概率不小于0.97，则需要的志愿者可以是 A．16名 B．17名 C．18名 D．19名 10．下列结论正确的是 A．把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 B．已知均为实数，若 C．函数的最小值为 D．已知，则的最大值为 11．如图，在三棱锥中，，，且，下列说法正确的有 A． B．三棱锥的外接球的体积为 C．若，则二面角的余弦值为 D．若，直线与所成的角与直线与所成的角相等 12．对于函数，下列说法正确的是 A．在处取得极小值 B．存在单调递增区间 C．有且仅有一个零点 D．在区间上有最大值 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知复数满足，则 ． 14．已知一个扇形的圆心角是，弧长是，面积也是，若，则 ， ．(本题第一空2分，第二空3分) 15．蒙日圆涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆． 设椭圆的蒙日圆为圆，直线与蒙日圆相交于，两点，且，点为圆上的动点，则的面积的最大值为 ． 16．已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上一点，过的中点作的垂线，与双曲线的右支交于点，若与双曲线的渐近线垂直，且三点共线，则双曲线C的渐近线方程为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分) 在中，角，，所对的边分别是，，，，． (I)求； (II)如图，M为边AC上的一点，BM=CM，，求的面积． 18．(12分)已知正项等差数列的公差不为0，且． (I)求数列的通项公式； (II)设数列满足，的前项和为，求数列的前项和． 19．(12分)如图，在平行四边形和直角三角形中，，，，，点，，分别为线段，，的中点．将绕向上翻折，使平面平面． (I)求证：平面； (II)设与平面交于点，求二面角的正弦值．