第05讲 等腰三角形（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第05讲 等腰三角形 1. 了解等腰三角形的概念. 2. 探索并证明等腰三角形的性质定理. 3. 探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等. 4. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。 知识点1 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点2 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【题型1：等腰三角形的性质】 【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（　　） A．17 B．15 C．13 D．13或17 【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（　　） A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm 【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．8或6 【变式1-3】（海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（　　） A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm 【典例2】（崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（　　） A．70° B．71° C．74° D．76° 【变式2-1】（祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．13 【变式2-2】（浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．13 【典例3】（河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数． 【变式3-1】（铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD． （1）求证：∠ADB＝∠BAC； （2）求∠B的度数． 【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离． 【题型2：等腰三角形的判定】 【典例5】（河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【变式5-1】（肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（　　） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　） A．6个