第04讲 角平分线的判定与性质（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

第04讲 角平分线的判定与性质 1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性. 2. 探索并证明角的平分线的性质. 3. 掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解决简单的问题. 知识点1 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点 2 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 【题型1 角平分线的作法及应用】 【典例1】（2022秋•林州市校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1-1】（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 【变式1-2】（2022秋•大荔县期末）在三角形内找一点，使它到三条边的距离相等，这个点应是（　　） A．三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【题型2 角平分线性质的应用】 【典例2】（2023春•保定月考）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【变式2-1】（2023春•通道县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝6cm，则点D到AB的距离是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【变式2-2】（2023春•法库县期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】（2023春•禅城区月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，AC＝8cm，CD＝6cm，则D到AB的距离为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm 【典例3】（2022秋•新昌县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC＝6，AB＝8，则△BED的面积为（　　） A． B．5 C．6 D． 【变式3-1】（2022秋•昆明期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC＝30，DE＝4，BC＝10，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5 【变式3-3】（2022秋•大足区期末）如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5 【题型3 角平分线的性质与全等】 【典例4】（2023•前郭县二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，AB＝7cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． ①求证：△ACD≌△AED； ②求EB的长． 【变式4-1】（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB． （1）求证：BE＝FD； （2）若AC＝10，AD＝8，求四边形ABCF的面积． 【变式4-2】（