6.5 相似三角形的性质-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（苏科版）

6.5相似三角形的性质 【推本溯源】 1.回顾相似三角形的判定 2.我们知道，当D、E、F分别是三角形各边中点时，▲DEF~▲ABC，相似比是，这两个三角形的周长、面积分别有什么关系？A B F D E 3.验证猜想 如果△ABC∽△A′B′C′相似比为k，那么 ， 于是，，， 所以， 如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高． A A′ C′ B′ D D’ C B ∵ △ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠____，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB＝∠_ _＝90°，∴△ABD∽△_ ______， ∴ 　　＝__ __， = 所以 相似三角形周长之比等于相似比，同理可得，相似多边形周长之比等于相似比； 相似三角形面积之比等于相似比的平方，同理可得，相似多边形面积之比等于相似比的平方。 4.在证明相似三角形面积的比等于相似比的平方过程中，我们发现相似三角形对应高之比等于相似比，那么对应中线、对应的角平分线之比呢？ 探究一（中线）： △ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，设相似比为k，那么C′ A′ D′ B′ C A B D ∵ ∴ , ∵AD和A′D′分别是▲ABC和▲A′B′C′的中线 ∴ , , ∴ ∴ ∴▲ABD~ ∴ 结论：相似三角形对应中线的比等于___________． 探究二（角平分线）： △ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，设相似比为k，那么C A B D C′ A′ D′ B′ ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠BAC＝∠_______，∠B＝_________． ∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线， ∴ ， ; ∴∠BAD＝∠_ _， ∴△ABD∽△_ _， ∴ ． 结论：相似三角形对应角平分线的比等于__________． 一般地，如果△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，点D、D'分别在BC、B'C'上，且 ，那么　　　 。你能类比刚才的方法说理吗？ 总结：相似三角形对应________的比等于相似比． 5.射影定理：母子三角形C Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： ①AD²=BD•DC；②AB²=BD•BC；AC²=CD•BC． 【解惑】 例1：已知，若对应边，则它们的周长比等于（    ）． A． B． C． D． 例2：如图，，，，则为（    ） A．8 B． C． D．10 例3：已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 ___________． 例4：如图，在矩形中，，点E是边的中点，连接，若将沿翻折，点B落在点F处，连接，则的长为________． 例5：如图，在和中，，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【摩拳擦掌】 1．（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，点D、E分别在的边BA、CA的延长线上，且，连接DE，下列判断：①；②；③．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．只有③ D．①②③ 3．（2023·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·宁夏吴忠·校考二模）如图，在C中，点D、E分别在边、上，，若，则与的比值为____________．    5．（2023春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，为边上的一点，且，若的面积为4，那么的面积为__________． 6．（2022秋·广西柳州·九年级校考阶段练习）若，相似比为，则对应周长的比值是__________． 7．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片中，，，，若沿的垂直平分线线前下，则的长为___________．      8．（2023春·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，矩形中，，点E为的中点，动点F从点A出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，连接．过点作的平行线交射线于点H，