江苏省常州市第一中学2022-2023学年高一下学期数学周末试卷4

周末作业 4 一、单项选择题 1．在△ABC中，A＝ π 3 ，BC＝3，AB＝ 6，则 C等于( ) A. π 4 或 3π 4 B. 3π 4 C. π 4 D. π 6 2．cos 350°sin 70°－sin 170°sin 20°等于( ) A．－ 3 2 B. 3 2 C. 1 2 D．－ 1 2 3．已知向量 a，b的夹角为 60°,且|a|＝2,|a－2b|＝2 7,则向量 b在 a方向上的投影向量为( ) A. 3 2 e B. 3 2 e C. 1 2 e D．e 4．△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 b＝6，a＝2c，B＝ π 3 ，则△ABC的面积 为( ) A．6 3 B．12 3 C．4 3 D．2 3 5.如图，有一段河流，河的一侧是以 O为圆心，半径为 10 3 m 的扇形区域 OCD，河的另一 侧是一段笔直的河岸 l，岸边有一烟囱 AB(不计 B离河岸的距离)，且 OB的连线恰好与河岸 l 垂直，设 OB与圆弧的交点为 E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点 C，点 O和 点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45°，30°和 60°.现在 CE 间修一条直路，下列说法正确的 是( ) A．烟囱 AB的高为 12 m B．烟囱 AB的高为 20 m C．CE的长为 10 m D．CE的长为 15 m 6．复数 2＋i 与复数 1 3＋i 在复平面上的对应点分别是 A，B，若 O为坐标原点，则∠AOB等于 ( ) A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 二、多项选择题 7．已知 z1与 z2 是共轭复数，以下四个命题一定正确的是( ) A．z21<|z2|2 B．z1z2＝|z2|2 C．z1＋z2∈R D. z1 z2 ∈R 8.如图，4×6 的方格纸(小正方形的边长为 1)中有一个向量OA → (以图中的格点 O为起点，格点 A为终点)，则( ) A．在以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA → 是相反向量的共有 11 个 B．满足|OA → －OB → |＝ 10的格点 B共有 3 个 C．存在格点 B，C，使得OA → ＝OB → ＋OC → D．满足OA → ·OB → ＝1 的格点 B共有 4 个 9．在△ABC中，点 D在线段 AB上，且 AD＝5，BD＝3，若 CB＝2CD，cos∠CDB＝－ 5 5 ， 则( ) A．sin∠CDB＝ 3 10 B．△ABC的面积为 8 C．△ABC的周长为 8＋4 5 D．△ABC为钝角三角形 三、填空题 10．在△ABC中，A，B为锐角，且(1－tan A)(1－tan B)＝2，则 cos C＝________. 11.如图，在等腰直角三角形 AOB中，设OA → ＝a，OB → ＝b，OA＝OB＝1，C为 AB上靠近点 A 的四等分点，过点 C作 AB的垂线，设 P为垂线上任意一点，OP → ＝p，则 p·(b－a)＝________. 12．在平面四边形 ABCD中，BC⊥CD，∠B＝135°，AB＝3 2，AC＝3 5，CD＝5，则 AD＝ ________. 四、解答题 13．(12 分)已知复数 z满足|z|＝ 2，z2 的虚部为 2. (1)求复数 z； (2)设 z，z2，z－z2 在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求△ABC的面积． 14．(12 分)已知 α∈   0， π 2 ，β∈   － π 2 ，0 ，cos   α－ β 2 ＝ 5 5 ，sin β＝－ 3 5 . (1)求 cos   α＋ β 2 的值； (2)求 α的值． 15．(12 分)设 z是虚数，ω＝z＋ 1 z 是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z的实部的取值范围； (2)设 μ＝ 1－z 1＋z ，求证：μ为纯虚数； (3)在(2)的条件下求 ω－μ2的最小值．