2.2 基本不等式-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 知识点 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的 ，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) ③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是 . 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 3 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于 对称， 在第一象限中，当时， ，当时，函数递增. ④ 与基本不等式的关系 由图很明显得知当时，时取到最小值， 其与基本不等式时取到最小值是一致的. 典型例题 【题型一】基本不等式运用的常见方法 1 直接法 设，则三个数、、 (　　) ．都大于4 至少有一个大于4 至少有一个不小于4 至少有一个不大于4 2 凑系数法 若，则的最大值是　 　． 3 凑项法 若，则函数的最小值为 . 4 不等式法 已知，且，则的取值范围是　 . 5 换元法 若，则的最大值为　 . 6 巧法 已知，，，则的最大值是　 ． 【题型二】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解 1 一正： 求函数的最值. 2 二定：定值 求函数的最值. 3 三等：取到等号 求函数的最值. 基础题型训练 一、单选题 1．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若x≥y，则下列不等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知a，b为正实数，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 4．若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．当时，不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知正实数满足，使得取最小值时，实数的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 7．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数x､y满足，则的最小值为3 D．因为x､，，所以 8．以下的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．若，则的最小值是____________． 10．已知，则取得最大值时x的值为_________ 11．已知正实数，满足，则的最小值________． 12．若实数x，y满足，则的最小值为 ___. 四、解答题 13．已知，求证：，并推导出等号成立的条件． 14．已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 15．已知a,b,c为互不相等的非负数,求证：a2+b2+c2＞(++). 16．已知 （1）若不等式对于满足条件的任意实数都不成立，求实数的取值范围； （2）探求是否存在实数，使得等式成立？若存在求出实数的值；若不存在，请说明理由. 提升题型训练 一、单选题 1．已知，，，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．已知，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 二、多选题 7．下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步恰能见到此树（注：1里≈300步），则该小城的周长可能为（      ）． A．里 B．里 C．里 D．里 三、填空题 9．已知，求的最小值______________. 10．若，且，则与2的大小关系是______． 11．已知正数、满足，则的最小值为___. 12．如图，在棱长为1的正四面体ABC