1.1.2 空间向量的数量积运算-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 推 广 思考 学习平面向量时，是如何研究它的数量积运算的？ 夹角 数量积的定义 运算律 应用 一.两个向量的夹角 定义：已知两个非零向量 在空间任取一点O， 则∠AOB叫做向量 的夹角， 记法： 作 范围： 一.两个向量的夹角 一.两个向量的夹角 思考 1 = 思考 2 在正🔺ABC中， 60° 120° 60° 口诀： 首首尾尾是夹角 首尾相接找补角 练习 1.判断 (1)在锐角▲ABC中，向量 与 的夹角等于向量 与 的夹角. ( ) (2)对于非零向量a，b，<a,b>=<a,-b>. ( ) 2.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ） A √ 二.空间向量的数量积 零向量与任意向量的数量积为 . 0 实数 二.空间向量的数量积 投影向量 二.空间向量的数量积 请类比平面向量的数量积运算，思考下面两个问题： 问题1.如果空间向量 是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？ 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 问题1.如果空间向量 是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？ >0 <0 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 平面向量数量积的运算律 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 空间向量数量积的运算律 思考辨析？ 非零向量 数量积运算 数量积运算 可约吗？ 可除吗？ 可结合吗？ 不约 不除 不结合 误区 空间向量数量积的应用 (1)求线段长度(距离)：把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模； (2)求夹角： cos <a，b>＝ (3)证明垂直： a⊥b ⇔ a · b＝0. 例1.空间向量的数量积运算 (1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5， 则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 (2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D A 例2.利用数量积求角度 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______． 90° 例3.利用数量积判断或证明垂直问题 如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°. 求证：BD⊥平面ADC. 提示： 线面垂直判定定理：直线与平面内两条相交直线分别垂直，则线面垂直 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF. 练习.利用数量积判断或证明垂直问题 例4.利用数量积求长度 如图，已知 中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为_______． 7 课堂小结 夹角 数量积 范围： 角度： 垂直： 长度： $