1.3.1 空间直角坐标系（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.1 空间直角坐标系导学案 学习目标 1.了解空间直角坐标系的有关概念理解空间向量的坐标表示，培养直观想象的核心素养； 2.会根据坐标找相应的点和向量，学写一些简单几何体的有关坐标，发展数学运算和逻辑推理等素养; 3.掌握空间向量及其运算的坐标表示，提升数学运算的核心素养. 重点难点 1. 重点： 空间直角坐标系的建立和空间向量运算的坐标表示. 2. 难点：空间向量运算的坐标表示及其应用. 课前预习 自主梳理 要点一 空间直角坐标系 1．概念：在空间选定一点O和一个 基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为 、以它们的长为 建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做 .这时就建立了一个空间直角坐标系O-xyz，O叫做 ，i，j，k都叫做 ，通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 要点二 空间向量的坐标表示 1．点的坐标表示：在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的 叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标． 2．向量的坐标表示：在空间直角坐标系O-xyz中，给定向量a，作＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作 . 思考：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？ 提示 若点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)． 画空间直角坐标系时，一般使（或 ），． 在空间直角坐标系中，让 指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为 ．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 在单位 下与向量对应的有序实数组，叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的 ，叫做点的 ，叫做点的 ． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1) 空间直角坐标系中, 在 轴上的点的坐标一定是 的形式. ( ) (2)空间直角坐标系中, 在坐标平面 Ozx 内的点的坐标一定是 的形式. ( ) (3)关于坐标平面 Oyz 对称的点其横坐标、纵坐标保持不变, 角坐标相反. ( ) (4)若点 的坐标为 , 则 . ( ) 2.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（   ） A． B． C． D． 新课导学 环节一：创设情境，引入课题 问题1：在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因数有哪些？数轴上的点怎么表示？ 问题2：在初中，我们学过直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系的因素有哪些？决定平面直角坐标系有哪些？平面直角坐标系中的点怎样表示？ 环节二：观察分析，感知概念 知识点1 空间直角坐标系 问题3：空间直角坐标系该如何建立？ 环节三：抽象概括，形成概念 问题4：在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中任意一点都可以用对应的有序实数组表示出来呢？ 探究 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？ 环节四：辨析理解，深化概念 在空间直角坐标系中，给定向量，作（图1.3-4）．由空间向量基本定理，存在唯一的有序数组，使． 有序数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作． 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示． 符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分． 问题5：建立空间直角坐标系后，空间中任意一点A如何用坐标表示呢？ 探究 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗？ 环节五：课堂练习，巩固运用 例1 如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，四点的坐标