(教参)第5章 3 应用一元一次方程——水箱变高了-【提分教练】2022-2023学年七年级数学上册同步(北师大版)

3　应用一元一次方程——水箱变高了 学习目标 1. 知道形状和体积发生变化问题的意义，掌握常见的体积和面积计算公式． 2. 能分析题中已知量与未知量之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题． 3. 通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系. 素养目标 通过方程在图形问题中的应用，培养学生数形结合的思想和数学抽象的核心素养. 形积变化问题中的等量关系 形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但题目中一定有相等关系．分以下几种情况： ①形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：　变化前　图形的体积＝　变化后　图形的体积； ②形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：　变化前　图形的周长＝　变化后　图形的周长； ③形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系． 1. 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x米，可列方程为(　C　) A. x＋(x＋1.2)＝7.8 B. x＋(x－1.2)＝7.8 C. 2[x＋(x＋1.2)]＝7.8 D. 2[x＋(x－1.2)]＝7.8 解析：根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2×(长＋宽)．故可列方程为2[x＋(x＋1.2)]＝7.8. 2. 如图，在长方形ABCD中，放入5个形状、大小相同的小长方形(空白部分)，其中AB＝7 cm，BC＝11 cm，那么阴影部分的总面积是(　D　) A. 18 cm2　　B. 21 cm2　　C. 24 cm2　　D. 27 cm2 解析：设小长方形的长为x cm，则宽为(7－x)cm，由题意，得x＋3(7－x)＝11，解得x＝5，则7－x＝7－5＝2，所以阴影部分的总面积为7×11－5×5×2＝27(cm2)． 3. 要锻造一个底面直径为20 cm、高为16 cm的圆柱形毛坯，应截取底面直径为16 cm的圆钢　25　cm. 解析：设应截取底面直径为16 cm的圆钢x cm， 由题意，得π××16＝π×·x， 解得x＝25. 　等积变形问题 如图，将一个底面直径为10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成一个底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？ 探究1：假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么这个问题中的等量关系是什么？ 解：锻压前圆柱的体积＝锻压后圆柱的体积． 探究2：设锻压后圆柱的高为x厘米，你能列出方程求出高变成了多少吗？ 解：锻压前圆柱的底面半径为10÷2＝5(cm)，锻压后圆柱的底面半径为20÷2＝10(cm)． 根据题意，得π×52×36＝π×102×x， 解得x＝9. 答：高变成了9厘米． 1. 如图，将一个装满水的内直径为20 cm的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为30 cm，20 cm，80 cm的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．(π取3.14，结果精确到0.01 cm) 解：设圆柱形水桶的高为x cm.根据题意，得 π×·x＝30×20×80. 解得x＝≈152.87. 答：圆柱形水桶的高约为152.87 cm. 2. 小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体积的2.5倍，那么大圆柱的高是多少？ 解：设大圆柱的高是x厘米． 根据题意，得 π××x＝2.5×π××6， 解得x＝9.6. 答：大圆柱的高是9.6厘米． 　等长变形问题 用一根长为12米的铁丝围成一个长方形． 探究1：若使得该长方形的长比宽多2米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积为多少？ 解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x＋2)米， 根据题意，得2(x＋x＋2)＝12， 解得x＝2，所以x＋2＝4. 答：此时长方形的长为4米、宽为2米． 此时长方形的面积为2×4＝8(平方米)． 探究2：若使得该长方形的长比宽多1.6米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与探究1中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ 解：设此时长方形的宽为y米，则它的长为(y＋1.6)米， 根据题意，得2(y＋y＋1.6)＝12. 解得y＝2.2，所以y＋1.6＝3.8. 答：此时长方形的长为3.8米、宽为2.2米． 此时所围成的长方形的面积为2.2×3.8＝8.36(平方米)，与探究1中所围成的长方形的面积相比，面积变大． 探究3：若使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的正方形的面积与探究1，2中的长方形的面积相比，又有什么变化？ 解：设正方形的边长为z米， 根据题意，得4z＝12.解得z＝3， 此时所围成的正方形的面积为3×3＝9(平方米)． 此时与探究1，2中所围成的长方形的面积相比，面积变大． 1. 用5