专题1.10 因式分解法（知识梳理与考点讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.10 因式分解法（知识梳理与考点讲解） 【知识点1】用因式分解法求解一元二次方程 （1） 定义： 若（x+a）（x+b）=0,则必有x+a=0或x+b=0，进而求出方程的解，这种解法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法求解一元二次方程的步骤： （1） 把方程的右边化为0； （2） 把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式； （3） 令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式； （4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。 【例1】解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) ，； (2) ， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用十字相乘法求解即可． （1）解：， （2）， 因式分解得：， 因式分解得：， 或， 或， 解得：，； 解得：，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和十字相乘法是解答本题的关键． 【变式】用因式分解法解下列方程． (1) ； (2) ． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解． （1）解：， （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【知识点2】选择适合（指定）方法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择 （1） 在一元二次方程四种解法中，一般的选择顺序为：直接开平方法——因式分解法——公式法——配方法； （2） 对于稍复杂的一元二次方程，要先观察，能否直接用开平方法或因式分解法，不用化为一元二次方程的一般形式； （3） 对于可化为一元二次方程的分式方程，一定要验根。 【例2】用适当的方法解下列方程： (1) (2) (2) ． (4) ． 【答案】(1) ； (2) ； （3）； (4) 【分析】（1）原方程利用直接开平方法求解即可； （2）原方程移项后，利用分解因式法求解即可； （3）原方程移项后，利用分解因式法求解即可；（4）原方程利用公式法求解即可. （1）解：原方程即为， （2）解：移项，得， 两边开平方，得， 即为， 解得：； ∴或， 解得：； （3）解：移项得， 即为， ∴或， 解得：； （4）方程中，， ∴， ∴. 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，根据方程的特点、选取合适的解法是解题的关键. 【变式】用指定的方法解方程： (1) （用配方法）； (2) （用公式法）； (3) （用因式分解法）； (4) （用适当的方法） 【答案】(1) ； (2) (3) (4) 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可． 解：（1）移项，得：， 系数化1，得：， 配方，得：， ， ， ∴，； （2）原方程可变形为， ，，， ，原方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； （3）原方程可变形为：， 整理得：， 解得，； （4）原方程可变形为：， 整理得：， ， ∴， 【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键． 【考点一】解含字母参数的一元二次方程 【例1】解关于x的一元二次方程 【答案】 ， 【分析】利用因式分解法求解即可． 解：因式分解得：， ∴或， 解得：，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键． 【变式】解关于x的方程：； 【答案】 ； 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【点拨