专题21.13 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理与考点讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.13 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理与考点讲解） 【知识点1】一元二次方程根与系数的关系 1、 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么.（注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0）. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【例1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）；      （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】直接根据根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，据此求解即可． 解：（1）∵ ∴，； （2）∵ ∴，． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）；      （2）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系：，求解即可． 解：（1）原式整理为：， ∴， ∴，； （2）原式整理为：， ∴， ∴，． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2、 与一元二次方程两根有关的代数式的变形 与一元二次方程的两个实数根是的有关代数式变形，常常有以下几个结论： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 【例2】设是一元二次方程的两个根．求： (1) ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系，进行计算即可； （2）根据根与系数的关系，进行计算即可． （1）解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； （2）解：∵ 又∵， ∴． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系：，是解题的关键． 【变式】设是方程的两个根．利用根与系数的关系，求的值． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，再由，即可求解． 解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 【知识点2】二次项系数为1的一元二次方程的性质 1、已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是 . 2、利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 【例3】求一个一元二次方程，使它的两根分别为，． 【答案】（答案不唯一） 解：设这个方程为 ∵方程的两个根分别为，， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，， 即，，若，则，， ∴这个方程可以是：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合运算，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式】 【考点一】利用根与系数的关系及方程的解求代入式的值（整体思想） 【例1】若a，b分别是方程的两根，则______________． 【答案】/ 【分析】根据a，b分别是方程的两根，得出，，将变形得出，然后变形，最后代入求值即可． 解：∵a，b分别是方程的两根， ∴，， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系，得出，，注意整体代入思想的应用． 【变式】设a、b是方程的两实数根，则______． 【答案】2022 【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得． 解：是的两实数根， ，， ，，， 则 ， 故答案为：2022． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 【考点二】已知方程的一个根，利用根与系数关系求另一个根 【例2】已知关于的方程的一个根是，求方程的另一个根． 【答案】3或2 【分析】先将代入方程求得m的值，设方程的另一个根为，再根据根与系数的关系即可解答． 解：方程的一个根是， ∴可得， 解得：，， 设方程的另一个根为