1.1.2空间向量的数量积学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 一、学习目标 课程标准 学科素养 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.（重点） 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度.（重点、难点） 1.数学抽象; 2.数学运算； 3.逻辑推理。 二、预习提纲：（阅读教材P6P8，完成下列填空，在教材相应位置进行标注后，识记相关内容） 1.空间向量的夹角 (1)定义：如图，已知两个非零向量,, 在空间任取一点O , 作=, =, 则AOB 叫做向量, 的夹角，记作<,>. (2)范围： · 如果<,>,那么向量,互相垂直， 记作 . 【思考交流】当<,>=0 和<,>=π时，向量与有什么关系? 2.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量,,则cos<,> 叫做, 的数量积，记作, 即. 规定：零向量与任意向量的数量积为0 性质 ① ; ②cos<,>. 运算律 ①(λ)·=λ(·),∈R; ②·=·(交换律); ③(+)·=·+·(分配律) 【思考交流】两个向量的数量积与数乘向量有何不同? 名师点津 ①空间向量的数量积的运算符号是“·”, 不能省略，更不能写成"×”. ②空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量. ③空间向量的数量积不满足结合律，即( ·)≠(·). ④若·=k, 则不能得出 . ⑤对于两个非零向量,，的充要条件是,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法，同时也说明了命题“ 或”是假命题. 3.投影 如图(1),在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，cos<,>，向量 称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线l投影(如图(2)) . 如图(3),向量 向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A', B'，得到向量，向量称为向量在平面β上的投影向量.这时，向量, 的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角. 三、合作探究，深度学习 学习目标一： 数量积的计算 例1 如图1. 1- 12, 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中， AB=5, AD=3, AA'=7, BAD=60, BAA'=DAA'=45° . 求：(1)； (2)AC′ 的长(精确到0.1). 学习目标二： 利用数量积证明垂直问题 例2 如图1. 1- 13, m, n是平面α内的两条相交直线.如果lm, ln, 求证：l. 学习目标三：利用数量积求解角度问题 例3 (1) 和的夹角为120°,且||=2, ||=5, 则(2-) ·= ( ) A.12 B.8+√ 13 C.4 D.13 (2) 已知||=1, |b|=√2, 且- 与垂直， 则与的夹角为( ) A.60 B.30° C.135° D.45° 学习目标四：利用数量积求解长度问题 例4 在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知以顶点A 为端点的三条棱的长度都等于2,且两两之间的夹角都是60°, 则对角线AC1 的长是 。 四、归纳小结： 1.知识点: 2.方法技巧： 3.数学思想： 五、当堂检测： 1.判断.(正确的画“ √”,错误的画"×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角. ( ) (2)对于非零向量,由·=·, 可得=. ( ) (3)对于向量,,, 有(·)=( ( ) (4)若非零向量,为共线且同向的向量，则·=||||. ( ) (5)对任意向量,,，满足·|. ( ) 2. 教材P8练习T1，T3. 第4页（共5页） 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $