第四章指数函数与对数函数知识点清单总结梳理-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新教材人教A版2019版数学必修第一册 第四章知识点清单 目录 第四章　指数函数与对数函数 4. 1　指数 4. 2　指数函数 4. 3 对数 4. 4 对数函数 4. 5 函数的应用（二） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第四章　指数函数与对数函数 4. 1　指数 一、根式 1. n次方根 (1)定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)表示： n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，+∞) 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0. 2. 根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质(其中n>1，且n∈N*)： ①()n=a. ②当n为奇数时， =a；当n为偶数时， =|a|= 二、分数指数幂 1. 正数的正分数指数幂： = (a>0，m，n∈N*，n>1). 2. 正数的负分数指数幂： == (a>0，m，n∈N*，n>1). 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 三、实数指数幂 1. 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 这样，指数幂ax(a>0)中指数x的取值范围就从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数. 2 / 2 四、实数指数幂的运算性质 1. aras= ar+s(a>0，r，s∈R)； 2. (ar)s=ars(a>0，r，s∈R)； 3. (ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R). 4. 拓展：=ar-s(a>0，r，s∈R). 五、根式与分数指数幂的化简、求值 1. 运用根式的性质解题时的注意点 (1)分清根式是奇次根式还是偶次根式： n>1，且n为奇数时，( )n==a，a为任意实数； n>1，且n为偶数，a≥0时，()n才有意义，且()n=a； n>1，且n为偶数，a为任意实数时， 均有意义，且=|a|. (2)注意变式、整体代换，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论. 2. 根式与分数指数幂化简、求值的技巧 (1)将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数. (2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质. 注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 六、指数幂的条件求值问题 解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法 1. 将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式 的值. 整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的 结构特点，灵活运用恒等式是关键. 2. 常用的变形公式如下： (1)a±2+b=(±)2； (2)( +)(-)=a-b； (3) +=( +)(a-+b)； (4) -=( -)(a++b). 4. 2　指数函数 一、指数函数的概念 1. 一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量,定义域是R. 二、指数函数的图象和性质 指数函数 y=ax(a>0，且a≠1) 0<a<1 a>1 图象     定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 单调性 在R上是减函数 在R上是增函数 函数值 的变化 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 三、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题 1. 与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法 (1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域； (3)求函数y=f(ax)的定义域，需先确定y=f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即ax的取值范围，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，即y=f(ax)的定义域； (