第三章 函数的概念与性质 知识点总结梳理-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新教材人教A版2019版数学必修第一册 第三章知识点清单 目录 第三章　函数的概念与性质 3. 1　函数的概念及其表示 3. 2　函数的基本性质 3. 3 幂函数 3. 4 函数的应用（一） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第三章　函数的概念与性质 3. 1　函数的概念及其表示 一、函数的概念 1. 函数的有关概念 函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y=f(x)，x∈A. f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘x 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 2. 函数的三要素 （1）一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. （2）因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数. 3. 区间的概念 （1）满足不等式a≤x≤b，a<x<b，a≤x<b，a<x≤b(a，b∈R，a<b)的实数x的集合可以用区间分别表示为[a，b]，(a，b)，[a，b)，(a，b]. （2）实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞). （3）满足不等式x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合可以用区间分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，b]，(-∞，b). 二、函数的表示法 1. 函数的三种表示方法 表示法 定义 特点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简单、全面，易求函数值 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 无需计算，查表可得函数值 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 形象、直观，便于研究函数的性质 2 / 2 2. 分段函数：已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数. (1)分段函数表示的是一个函数，在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并写出各段自变量的取值范围，其中各段函数自变量的取值范围的交集是空集. (2)画分段函数图象时，应分别作出每一段函数的图象. 三、求函数的定义域 1. 已知函数解析式求定义域 (1)如果函数解析式是整式，那么在没有指明它的定义域的情况下，函数的定义域是实数集R. (2)如果函数解析式含分式或0次幂，那么函数的定义域是使分母或幂的底数不为零的实数的集合. (3)如果函数解析式仅含偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果函数解析式是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集). (5)由实际背景确定的函数，其定义域不仅要使解析式有意义，还要使自变量满足实际意义. 2. 求抽象函数的定义域 (1)求抽象函数的定义域，要明确以下几点： ①函数f(x)的定义域是指x的取值范围. ②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围. ③f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的取值范围相同. (2)抽象函数定义域的求解方法： ①已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x的取值范围. ②已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域. ③已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域. 四、求函数的值域 1. 求函数值域的常用方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域. (2)图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域. (3)配方法：此方法是求二次函数值域的基本方法，通常把函数式通过配方转化成完全平方式与