1.3正方形的性质与判定 暑期自主学习同步练习题 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》 暑期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．满足下列条件的四边形是正方形的是（    ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形 B．对角线互相垂直的菱形 C．对角线相等的矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形 2．在如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点C顺时针旋转得到，且，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（    ）． A．20 B．25 C．30 D．35 5．如图，延长正方形边至点，使，则为（    ） A．22.5° B．25° C．30° D．45° 6．七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 7．如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，A（﹣4，0），G（0，4），BC的中点E恰好落在x轴上，CD交y轴于点F，连接DG，DO．给出判断：①BF＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°； ④△ADO是等腰三角形．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 8．若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 9．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________． 10．如图，正方形ABCD的边长为6．则图中阴影部分的面积为_________． 11．如图，在正方形ABCD中，，E是AD的中点，点A关于BE的对称点为F，则DF的长为______． 12．如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于_____． 13．如图，四边形 是一个边长为 6 的正方形，点 在 的延长线上，连接 ，过作 的垂线，交 的延长线于点 ，且 ，则 _____. 14．如图，正方形ABCD的边长为4，E点是BC上一点，F是AB上一点，P是AC上 一动点，且BE＝1，AF＝2，则PE+PF的最小值是_____． 三、解答题 15．如图，是正方形，是上任意一点，于，于．求证:． 16．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点． 求证： ． 17．如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．      18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB于点F，求EF的长． 19．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG． (1)求证：AE=CG； (2)试判断BE和DF的位置关系，并说明理由． 20．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G． (1)如图1，求证：AE⊥BF； (2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值． 参考答案 1．解：选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确，符合题意； 选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故选项错误，不符合题意； 选项，对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意； 选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故选项错误，不符合题意； 故选：． 2．解：四边形是正方形， ，， 由旋转得， ， ， ， 旋转角的度数是，故选：C． 3．解：、分别为、的中点， 是的中位线． ，即． ， ． 故选：D． 4．解：∵正方形ABCD的边长为7， 四边形ABCD是正方形 ∴四边形EFGH的面积为故选：B 5．解：连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，且∠CAB=45°， 又∵BD=AE， ∴AE=CA， ∴∠E=∠ACE， ∵∠CAB=∠ACE+∠E=2∠E=45°， ∴∠E=22.5°． 故选：A． 6．解：∵平行四边形BGFE是七巧板中的平行四边形， ∴BC＝2BG，BD＝4BE，BC＝CD， ∵平行四边形BEFG的周长等于10， ∴2（BE+BG）＝10， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝2BG+2BG+4BE＝4（BE+BG）＝20， 故选：C． 7．解： 是正方形， 又 , 在和中， 故①正确； 又 故③正确； 延长，过作延长线的垂线并与的长线交于点，则 是的中点 ， 由①可知