第一章 集合与常用逻辑用语 知识点总结梳理-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

新教材人教A版2019版数学必修第一册 第一章知识点清单 目录 第一章 集合与常用逻辑用语 1. 1 集合的概念 1. 2 集合间的基本关系 1. 3 集合的基本运算 1. 4 充分条件与必要条件 1. 5 全称量词与存在量词 2 / 2 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 1. 1 集合的概念 一、元素与集合的相关概念 1. 元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写拉丁字母,,,…表示. 2. 集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母,, ,…表示. 3. 集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 4. 集合中元素的特性 (1)确定性:集合中的元素必须是确定的. (2)互异性:集合中的元素一定是不同的,相同对象归入同一集合只能算作一个元素 (3)无序性:构成集合的元素无先后顺序之分. 二、元素与集合的关系 1. 属于:如果是集合的元素,就说属于集合,记作 2. 不属于:如果不是集合中的元素,就说不属于集合,记作 三、常用数集及其记法 (1) (2) (3) (4) (5) 四、集合的表示方法 1. 列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2. 描述法:把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为(竖线前面是代表元素及其取值范围,竖线后是这个集合中元素所具有的共 同特征). 五、集合中元素特性的运用 1. 确定性的运用:元素在集合中,元素就满足集合的限制条件,由此可以列出方程或不等式,可以解出字母的所有可能值或取值范围. 2. 互异性的运用:在表示集合时,相同的对象只能算一个元素,在求解集合问题时互异性是检验的依据. 3. 无序性的运用:研究元素与集合的关系时,无序性是分类讨论思想的应用标准. 六、集合的表示 1. 方法的选择:元素个数少或者元素个数多但是有规律时可考虑列举法;元素个数多且有公共属性或者不宜列举时考虑描述法. 2. 用列举法表示集合时的省略:元素个数多或元素个数无限时,在不发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示. 如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000},自然数集可以表示为{0,1,2,3,…}. 3. 用描述法表示集合时的注意事项 (1)写清楚集合中的代表元素及其范围,如数或点等; (2)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确; (3)所有描述的内容都要写在“{}”内,且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语. 七、集合中参数问题的解法 求解含参数的集合问题时,若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论. 1. 对参数进行准确的逻辑划分. 如在研究方程时,若,则此方程是一元一次方程,按一元一次方程求解即可;若,则此方程不是一元一次方程,此时看是不是. 2. 求参数值的问题:先利用条件列出含参数的等式,再解方程(组)求值,最后检验参数的值是否符合题意. 解题时要注意: (1)列等式时要考虑到元素的无序性,元素的无序性主要体现在: ①给出的对象属于某集合,则它可能等于集合中的任一元素; ②给出的两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等. (2)求出参数后要代入检验,所求参数的值不仅要适合所有条件,还要满足同一集 合中的元素互不相等. 3. 求参数的取值范围问题:先利用条件列出不等式(组),再解不等式(组)得到参数的取值范围. 1. 2 集合间的基本关系 一、子集、集合相等、真子集 1. 子集 (1)概念:如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B 的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) (2)图示: (3)性质:任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C 2. 集合相等 (1)概念:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B (2)图示: (3)性质:A⊆B,且B⊆A⇔A=B;A=B,且B=C,则A=C 3. 真子集 (1)概念:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A) (2)图示: (3)性质:A⫋B,且B⫋C,则A⫋C;A⊆B,且A≠B,则A⫋B 二、空集 1. 定义:不含任何元素的集合叫做空集 2. 符号:⌀ 3. 规定:空集是任何集合的子集,是任何