第8讲 函数的奇偶性与周期性

第8讲　函数的奇偶性与周期性 1、 基础知识 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有　　　  　　　　　　,则称函数y=f(x)为偶函数  　　　　　　,则称函数y=f(x)为奇函数  图像特征 关于　　　　对称  关于　　　　对称  2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义内的每一个x,都满足　　　　　　　,那么就称函数f(x)为周期函数,非零常数T称为这个函数的周期.  (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x),如果在它的所有周期中存在一个　　　　　　,那么这个　　　　　　就称为f(x)的最小正周期.  2、 常用结论 1.奇(偶)函数定义的等价形式: (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数. 2.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|; (2)若f(x+a)=,则T=2|a|; (3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|. 3.对称性与周期性之间的常用结论: (1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|; (3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|. 4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论: (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称; (2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直线x=对称; (3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图像关于点,0对称; (4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点,对称. 3、 分类训练 探究点一　函数奇偶性及其延伸 微点1　函数奇偶性的判断 例1 (1)已知函数f(x)=,则函数f(x) (　　) A.既是奇函数也是偶函数 B.既不是奇函数也不是偶函数 C.是奇函数,但不是偶函数 D.是偶函数,但不是奇函数 (2)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列说法中正确的是 (　　) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 [总结反思] 函数具有奇偶性包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 常见特殊结构的奇、偶函数:f(x)=loga(-x)(a>0且a≠1)为奇函数,f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)为偶函数. 微点2　函数奇偶性的应用 例2 (1) 若函数f(x)=为奇函数,则f[g(-1)]= (　　) A.- B. C.-1 D.1 (2) 已知函数f(x)=则flg +flg +f(lg 2)+f(lg 5)=　　　　.  [总结反思] 利用函数的奇偶性可以解决以下问题: (1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上,再利用奇偶性的定义求出. (3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像:利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像. (5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值. 微点3　奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说对称性问题) 例3 (1)(多选题)已知偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)是以2为周期的周期函数 B.函数f(x)是以4为周期的周期函数 C.函数f(x-1)为奇函数 D.函数f(x-3)为偶函数 (2)已知函数f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上单调递减,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集是 (　　) A.-∞,∪(2,+∞) B.,2 C.-, D.-∞,-∪,+∞ [