第9讲 二次函数与幂函数-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第9讲　二次函数与幂函数 1、 基础知识 1.二次函数的图象和性质 解析式 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 　　　　　　  　　　　　　  单调性 在　　　　　　上单调递减,在-,+∞上单调递增  在　　　　　　上单调递增,在-,+∞上单调递减  顶点坐标 　　　　　　　  奇偶性 当　　　　时为偶函数  对称轴 方程 x=- 2.幂函数 (1)定义:一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 性 质 定义域 R R R 　　  　　　  值域 R 　　  R 　　  　　  奇偶性 　　函数  　　函数  　　函数  　　　  函数 　　函数  单调性 在R上单 调递增 在　　　上  单调递减; 在　　　上  单调递增 在R上 单调递增 在　　  上单调 递增 在　　  和　　　上  单调递减 公共点 　　　  2、 常用结论 1.二次函数解析式的三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 2.一元二次不等式恒成立的条件: (1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”; (2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”. 3、 分类训练 探究点一　幂函数的图象和性质 1.已知幂函数y=xn在第一象限内的图象如图2-9-2所示.若n∈,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的n的值依次为 (　　) 图2-9-2 A.-,-2,2, B.2,,-2,- C.2,,-,-2 D.-,-2,,2 2.(多选题)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且f(x)的图象与坐标轴无交点,则f(x) (　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.是其定义域上的增函数 D.没有最小值 3.若0<a<b<1,m=ab,y=ba,z=bb,则m,y,z的大小关系为 (　　) A.m<z<y B.y<m<z C.y<z<m D.z<y<m [总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等. 探究点二　二次函数的解析式 例1 (1)已知抛物线y=ax2+bx+c经过P(1,1),Q(2,-1)两点,且抛物线在点Q处的切线平行于直线y=x-3,则抛物线的方程为 (　　) A.y=3x2-11x+9 B.y=3x2+11x+9 C.y=3x2-11x-9 D.y=-3x2-11x+9 (2)已知二次函数y=f(x)图象的顶点坐标为-,49,且方程f(x)=0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的解析式是　　　　　　　　.  [总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式. 变式题 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此二次函数的解析式为　　　　　　　　.  探究点三　二次函数的图象与性质问题 微点1　通过图象识别二次函数 例2 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2-9-3所示.给出下列说法:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a.其中说法正确的是　　　　　.(填序号)  图2-9-3 [总结反思] 一般地,给出了二次函数的图象,我们可以从图象中得到下列信息:(1)开口方向;(2)判别式的正负;(3)对称轴方程;(4)特殊点的函数值的大小(正负). 微点2　二次函数的单调性问题 例3 (1)若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是 (　　) A.-,-3 B.[-6,-4] C.[-3,-2] D.[-4,-3] (2)已知函数f(x)=2x2-kx-4在区间[-2,4]上具有单调性,则k的取值范围是　　　　.  [总结反思] 对于二次函数的单调性,关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解. 微点3　二次函数的最值问题 例4 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上的最大值为2,则a的值为　　　　.