第10讲 指数与指数函数-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第10讲　指数与指数函数 1、 基础知识 1.根式 n次方根 概念 如果存在实数x,使得xn=a,则x称为a的　　　　,其中n>1,n∈N*  性质 当n是　　　　时,a的n次方根为x=  当n是　　　　时,正数a的n次方根为x=±,负数的偶次方根　　　　  0的任意正整数次方根均为0,记为=0 根式 概念 当有意义的时候,称为　　　　,n称为　　　　,a称为　　　　  性质 当n为奇数时,=　　　  当n为偶数时,=|a| 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*,且n>1). ②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*,且n>1). ③0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂　　　　.  (2)有理数指数幂的性质 ①asat=　　　　(a>0,s,t∈Q);  ②(as)t=　　　　(a>0,s,t∈Q);  ③(ab)s=　　　　(a>0,b>0,s∈Q).  3.指数函数的图象与性质 y=ax(a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　　　  性质 过定点　　　  当x>0时,　　　　;  当x<0时,　　　  当x>0时,　　　　;  当x<0时,　　　  在R上是　　　  在R上是　　　  2、 常用结论 1.函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图象恒过定点(0,1+b). 2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象以x轴为渐近线. 3、 分类训练 探究点一　指数幂的化简与求值 1.化简[的结果为 (　　) A.5 B. C.- D.-5 2.化简·-3÷的结果为 (　　) A.6a B.-a C.-9a D.9a2 3.计算:(×)6+(-2020)0-4×+=　　　　.  4.已知x+x-1=3,则的值为　　　　.  [总结反思] 指数幂运算的一般原则: (1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 探究点二　指数函数的图象及应用 例1 (1)函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x-1在同一个坐标系内的图象可能是(　　) 图2-10-1 (2)函数y=ax(a>0且a≠1)与y=xb的图象如图2-10-2所示,则下列不等式一定成立的是 (　　) 图2-10-2 A.ba>0 B.a+b>0 C.ab>1 D.loga2>b [总结反思] (1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,. (2)与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,利用数形结合求解. 变式题 (1)函数f(x)=|x+1|的图象大致为 (　　) 图2-10-3 (2)设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数),若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是 (　　) A.x2·f(x1)>1 B.x2·f(x1)=1 C.x2·f(x1)<1 D.x2·f(x1)<x1·f(x2) 探究点三　利用指数函数的性质解决有关问题 微点1　比较指数式的大小 例2 (1)已知a=3,b=,c=,则 (　　) A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b (2)(多选题)已知实数a,b满足等式a=b,下列关系式可能正确的是 (　　) A.0<b<a B.0<a<b C.b<a<0 D.a=b=0 [总结反思] 比较指数式的大小,其依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间变量比较. 微点2　解简单的指数方程或不等式 例3 (1)已知关于x的不等式2x-a>0在区间-1,-上有解,那么实数a的取值范围是 (　　) A.-∞, B.-∞, C., D.,+∞ (2)若f(x)为偶函数,当x≥0时满足f(x)=2x-4,则不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　　　.  [总结反思] (1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).(3)有些含参数的指数不等式,需要分离变量,