1.1 菱形的性质与判定—考点总结复习 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

专题1.1 《菱形的性质与判定》—考点总结精练 知识点小结： 一、菱形的性质 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质：①菱形具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边相等； ③菱形的对角线互相垂直，且菱形的每一条对角线平分它的一组对角； ④菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条，分别是两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点． 3．菱形的面积：①同平行四边形的面积（底×高）；②对角线乘积的一半．（常用等面积法求菱形的高） 二、菱形的判定 1．菱形的判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边相等的四边形是菱形． 考点总结 【考点1 利用菱形的性质和判定求角度】 【例1】（2022·驻马店期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝76°，BA＝BE，则∠BEA的度数为（　　） A．68° B．70° C．71° D．75° 【变式1-1】（2022·绍兴中考）在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 ． 【变式1-2】（2023·廊坊三模）如图，已知在菱形ABCD中，连接对角线AC，作BC边的垂直平分线EF，分别交BC、AC、AD于点F、Q、E，若∠EQD＝21°，则∠CAB的度数是（ ） A．33° B．37° C．42° D．49° 【变式1-3】（2023·襄阳一模）如图，在ABCD中，AB＝AD，点E是AB上一点，连接CE、DE，且BC＝CE，若∠BCE＝40°则∠ADE＝ ． 【考点2 利用菱形的性质和判定求线段长】 【例2】（2022·郑州期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为 ． 【变式2-1】（2023·阜阳二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝16，AE＝，则BC的长为 ． 【变式2-2】（2023·德州二模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线交于点O，F、E分别是AD、OB的中点，则线段EF的长为 ． 【变式2-3】（2022·江苏期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2，延长BA至点E，使AE＝1，现以点D为圆心，以DE为半径画弧，与直线BC交于点M，则CM的长为 ． 【考点3 利用菱形的性质和判定求面积】 【例3】（2022·长宁期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，连接AC，将菱形ABCD绕点A旋转，使点D的对应点E落在对角线AC上，连接DE，则△DEC的面积是 ． 【变式3-1】（2023·聊城中考）如图，在ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE的面积为 ． 【变式3-2】（2022·长沙期中）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，其中B点坐标为（0，4），∠OAB＝30°，则△OAE的面积为 ． 【变式3-3】（2022·大庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD：∠B＝1：3，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为4，则菱形ABCD的面积为 ． 【考点4 利用菱形的性质求点的坐标】 【例4】（2022·烟台期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（－1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为 ． 【变式4-1】（2023·周口三模）如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（－1，－2），C（3，1），则点D的坐标为 ． 【变式4-2】（2023·南京一模