专题02 绝对值中的最值与化简压轴问题专训-2023-2024学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 绝对值中的最值与化简压轴问题专训 【题型目录】 题型一 两个绝对值的和的最值 题型二 两个绝对值的差的最值 题型三 多个绝对值的和的最值 题型四 绝对值中最值问题的应用 题型五 已知范围的绝对值化简 题型六 未知范围的绝对值化简 题型七 绝对值化简问题综合 题型训练： 绝对值中的10道最值问题训练 绝对值中的10道化简问题训练 绝对值最值问题概述： 最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果. 绝对值化简问题概述： 绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题. 【经典例题一 两个绝对值的和的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 【例1】（2022秋·江西新余·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可以理解为与数在数轴上所对的两点之间的距离，即．试探索： (1)同样道理表示数轴上有理数所对的点到和所对两点距离相等，则______； (2)类似的表示数轴上有理数所对点到和所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有____________； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． 【变式训练】 【变式1】（2022秋·广西北海·七年级统考期中）阅读材料： 若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点间的距离表示为． 例如：表示的几何意义是：数轴上的有理数对应的点与有理数对应的点之间的距离．解决问题： 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，请求出的值； (2)请求出式子的最小值． 【变式2】（2022秋·江苏苏州·七年级校考阶段练习）数轴上表示数的点与原点的距离可记作；表示数的点与表示数2的点的距离可记作．也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b．则A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是 ，轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为2，那么x为 ； (3)①找出所有使得的整数x； ②若，求x； ③|是否有最值？如果有，请直接写出结果；如果没有，请说明理由． 【变式3】（2022秋·山东临沂·七年级校考阶段练习）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　． (2)数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为　　． (3)同理|x+2|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣2和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+2|+|x﹣1|＝3，这样的整数是 ． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣5|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (5)数轴上是否存在一个点P到-2和1的距离之和是6的点？若存在请写出这个点P所对应的数． 【经典例题二 两个绝对值的差的最值】 【知识归纳】 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 【例2】（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点