1.2 集合间的基本关系（重难点题型突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第一册）

突破1.2 集合间的基本关系 1．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即． ②传递性，对于集合，，，如果，且，那么． 2．真子集 （1）子集的概念 如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）． 如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： （2）真子集的性质 对于集合，，，如果，，那么． 辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则． 3．集合相等 如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示． 4．空集 （1）．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． （2）．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即； （2）空集是任何非空集合的___________，即． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 【知识拓展】 1． 若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2.奇数集：. (一) 求集合的子集和真子集 （1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析， 首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集； 其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B． （2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断． 例1．（1）、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合的非空真子集的个数为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 （2）、（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式训练1-1】、（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）写出集合的所有子集_____． 【变式训练1-2】．（2022秋·江西宜春·高三校联考期末）集合的真子集的个数是（    ） A．15 B．8 C．7 D．63 例2．（2021秋·高一课时练习）设集合，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）集合，，之间的关系是（ ） A． B． C． D． (二) 空集 例3．（1）、（2022秋·高一课时练习）下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． (2)、（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）（多选题）下列关系中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】．（2022秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）（多选题）下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． (三) 集合相等 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义． 例4．（1）、（2020·江苏徐州·高一徐州三十五中校考阶段练习）下列各组集合中，表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． （2）、（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______. 【变式训练4-1】、（2021秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）已知集合，集合，且，则实数__________. 【变式训练4-2】、（2022秋·甘肃定西·高三校考阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是______． (四) 子集和真子集个数问题 1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点： （1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身； （3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三