专题1.2 巧用有理数的七种方法（七大题型）-2023-2024学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题1.2 巧用有理数的七种方法（七大题型） 重难点题型归纳 【题型1 归类法】 【题型2 凑整法】 【题型3 拆项法】 【题型4 组合法】 【题型5 逆向法】 【题型6 裂项相消法】 【题型7 倒数求值法】 满分必练 【题型1 归类法】 【典例1】计算：0.125+2． 【变式1-1】计算：． 【变式1-2】计算：． 【变式1-3】计算． （1）； （2）． 【变式1-4】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1-5】计算： （1）﹣4+1.5﹣3.75+8； （2）﹣1.25﹣3+|﹣﹣1|． 【题型2 凑整法】 【典例2】计算：（﹣0.5）﹣（﹣3.2）+（+2.8）﹣（+6.5）． 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】计算：． 【变式2-3】（1）25.7+（﹣7.3）+（﹣13.7）+7.3； （2）（﹣2.125）+（+3）+（+5）+（﹣3.2）． 【变式2-4】计算： （1）27﹣18+（﹣7）﹣32；（2）（﹣12）﹣（﹣）+（﹣8）﹣． 【题型3 拆项法】 【典例3】用简便方法计算：29×（﹣3）． 【变式3-1】用简便方法计算：． 【变式3-2】用简便方法计算：29×（﹣12） 【题型4 组合法】 【典例4】（2022秋•南开区期中）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝　 ． 【变式4-1】（2022秋•襄汾县期中）计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016 【变式4-2】（2022秋•工业园区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值为（　　） A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101 【变式4-3】（2022秋•工业园区月考）计算： （1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99； （2）||+||﹣||． 【题型5 逆向法】 【典例5】计算：﹣13×﹣0.34×+×（﹣13）﹣×0.34． 【变式5-1】用简便方法计算 ﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣） 【变式5-2】计算：． 【变式5-3】利用适当的方法计算：+． 【变式5-4】×（﹣）﹣×+×（﹣）． 【变式5-5】计算：． 【题型6 裂项相消法】 【典例6】阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题． （1）①﹣5 解：原式＝＝＝＝﹣1． 上面这种方法叫做拆项法． ②计算：． （2）①1﹣，1﹣，1﹣，…，上面这种方法叫做裂项法． ②计算：． 【变式6-1】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：＝　 ； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【变式6-2】阅读下面的文字，完成解答过程． 请你观察：，… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： （1）＝　　． （2）＝　　． （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：＝　 　（其中n，k均为正整数），并计算． 【变式6-3】观察下列等式：，，． 将以上三个等式的两边分别相加得：； （1）计算：＝　　（直接写结果）； （2）计算：＝　　（直接写结果）； （3）探究并计算： ①＝　 ； ②＝　 　． 【题型7 倒数求值法】 【典例7】数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题： 小明的解法：原式＝ ＝ ＝ ＝ 小红的解法：原式的倒数为 ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式＝ （1）你觉得　　的解法更好． （2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题： 计算： 【变式7-1】请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（﹣+）÷（） ＝（﹣+）×（﹣30） ＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣ 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【变式7-2】阅读下列材料：计算50÷（﹣+）． 解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（﹣+）＝