1.5 全称量词与存在量词（精讲）-2023-2024学年高一数学《一隅三反》系列（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词（精讲） 一．全称量词与全称量词命题 全称 量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量 词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围) 符号表示 ∀x∈M，p(x) 二．存在量词与存在量词命题 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 存在量词 符号表示 ∃ 存在量词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围) 符号表示 ∃x∈M，p(x) 三．含量词的命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定形式 ∃x∈M， ∀x∈M， 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题； 存在量词命题的否定是全称量词命题 一．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 否定一个含有量词的命题的三点注意 (1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键； (2)注意命题的否定与否命题的区别； (3)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真． 二．求解含有量词的命题中参数范围 1.对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． 2.对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 三．常见正面词语的否定 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 考点一 全称量词与存在量词 【例1-1】（2023·河南平顶山）下列语句不是存在量词命题的是（    ） A．至少有一个x，使成立 B．有的无理数的平方不是有理数 C．存在，是偶数 D．梯形有两边平行 【例1-2】（2023·四川乐山）下列命题中，不是全称量词命题的是（ ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数 【一隅三反】 1．（2023·广西）下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 2．（2023·江苏南京）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·北京）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 考点二 全称量词命题与存在量词命题的真假 【例2-1】（2022湖南）下列命题中是真命题的为（    ） A．，使 B．，使 C．， D．， 【例2-2】（2023·山东）已知命题；命题，则下列说法正确的是（    ） A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 【一隅三反】 1．（2023·辽宁）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 2．（2023·黑龙江）下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使 3．（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（    ） A．真真 B．假假 C．假真 D．真假 考点三 命题的否定 【例3-1】（20