第18讲 成比例线段-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第18讲 成比例线段 1. 了解成比例线段； 2. 掌握比例的性质； 3. 掌握黄金分割及其应用。 1． 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 3.黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点. ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 要点： 线段的黄金分割点有两个. 考点1：成比例线段 例1．下列各组线段中，成比例线段的组是（    ） A． B． C． D． 例2．线段，，，的长度如下： ①，，，； ②，，，； ③，，，； 以上组数据中，能使，，，构成比例线段的有．（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 考点2：比例的性质 例3．已知、是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．已知，那么的值是（    ）． A． B． C． D． 例5．如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ） A． B． C． D． 例6．（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 考点3：比例中项 例7．如果，且是和的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 例8．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 例9．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 例10．在比例尺为1：50的图纸上，长度为10cm的线段实际长为（　　） A．50cm B．500cm C． D． 考点4：比例尺的应用 例11．、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是________． 例12．两地的实际距离是，在地图上量得这两地的距离为，这幅地图的比例尺是多少？ 考点4：比例的性质综合 例13．下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 例14．已知：． (1)求代数式的值； (2)如果，求a的值. 例15．已知，，求的值． 例16．若，求的值． 考点5：分类讨论题 例17．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是__________． 例18．已知三条线段长分别为1cm，cm，2cm，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段． 例19．若，则的值为_____． 考点6：黄金分割 例20．已知P点为线段的黄金分割点，，且，则___________ 例21．点P是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（    ） A． B． C． D． 例22．已知，点线段的黄金分割点，且，那么________． 例23．已知：线段，点是的黄金分割点，且，则_____，________． 考点7：黄金分割比的形式拓展 例24．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长_____ ． 例25．如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么_____． 例26．已知线段，若，是的两个黄金分割点，则长为______． 例27．已知线段，点P是线段的黄金分割点，且，那么的长为______． 考点8：黄金分割的应用 例28．一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A． B． C． D． 例29．宽与长的比值等于黄金分割比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果贺年卡的长的等于厘米，那么贺年卡的宽等于______厘米．（，精确到） 例30．黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台的长为18米，主持人站在点处自然得体．已知点是线段上靠近点的黄金分割点，则此时主持人与点的距离为 _________米． 例31．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体，