第5章 习题课 任意角的三角函数与诱导公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

习题课　任意角的三角函数与诱导公式 学习目标 1．掌握三角函数定义的两种形式． 2．会用同角三角函数的基本关系进行求值化简． 3．熟练掌握六组诱导公式的结构特征并能应用求值． 知识点一　任意角的三角函数 [例1]已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin (2kπ＋α)＝－，k∈Z，则t的值为________． 答案：　解析：∵sin (2kπ＋α)＝－，∴sin α＝－，又角α的终边过点P(3，－4t)，∴sin α＝＝－，解得t＝(负值舍去). 用定义法求三角函数值的两种类型及解题方法 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． [练1] 若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，点P(m，n)是α终边上一点，且点P到原点O的距离|OP|＝，则tan α＝________． 答案：3　解析：∵y＝3x且sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，n＝3m，∴|OP|＝＝|m|＝－m＝，∴m＝－1，n＝－3，∴tan α＝3. 知识点二　同角三角函数的基本关系 [例2] 已知sin α＋cos α＝－，0＜α＜π. (1)求sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值． 解：(1)由sin α＋cos α＝－可得(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，所以sinαcos α＝－. (2)因为0＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0. sin α－cos α＝＝＝. [变式探究1] 若本例改为“如果角θ满足sin θ＋cos θ＝”，那么tan θ＋的值为多少？ 解：sin θ＋cos θ＝，则(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝2，所以sinθcos θ＝. tan θ＋＝＋＝＝＝2， 故tan θ＋＝2. [变式探究2] 若本例变为“已知cos αsin α＝”，那么cos α－sin α的值为多少？ 解：因为cos αsin α＝， 所以cos α－sin α＝±＝±＝±. sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，利用该公式，已知其中一个，能求另外两个，即“知一求二”． [练2] 已知＝－，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　解析：因为＝＝2sin αcos α，所以2sin αcos α＝－，且α∈(，π)，所以cos α－sin α<0，又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，所以cos α－sin α＝－. 知识点三　诱导公式的综合应用 [例3] 如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，OB＝2. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解：(1)依题意，在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝2， 则AB＝＝，tan ∠AOB＝＝， 而由题图可知，∠AOB＋α＝π， 故tan α＝tan (π－∠AOB)＝－tan ∠AOB＝－. (2)因为tan α＝－，sin (α－)＝sin (α－＋2π)＝sin(α＋)＝cos α， sin (π＋α)＝－sin α，cos (α＋5π)＝cos (α＋π)＝－cos α， 故＝＝－2＋tan α＝－2－. 诱导公式综合应用的“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式． [练3] 已知f(α)＝，则f()＝(　　) A． B． C． D．－ A　解析：f(α)＝＝＝＝cos α.则f()＝cos ＝. 1．知识清单 (1)三角函数的定义； (2)同角三角函数的基本关系； (3)利用诱导公式进行化简、求值． 2．方法归纳：定义法、公式法． 3．常见误区：函数符号的变化，角与角之间的联系与构造． ◎随堂演练 1．已知sin 40°＝a，则cos 130°＝(　　) A．a B．－a C． D．－ 答案：B 2．在△ABC中，cos (A＋B)的值等于(　　) A．cos C B．－cos C C．s