5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．4　三角函数的图象与性质 5．4.1　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标 1．了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”描出正弦函数、余弦函数的图象的方法． 2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题． 知识点一　正弦函数、余弦函数的图象 如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简单的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可以在纸板上得到一条曲线，这就是物理学中简谐振动的图象．数学中把简谐振动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”． 1．你能画出y＝sin x，x∈[0，2π]的图象吗？ 2．y＝sin x，x∈[0，2π]上的五个关键点坐标是什么？ 1．正弦曲线 函数 y＝sin x，x∈R 图象 2．余弦曲线 函数 y＝cos x，x∈R 图象 [例1] (1)下列叙述正确的个数是(　　) ①y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围． A．0 B．1个 C．2个 D．3个 (2)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x轴有无数多个交点； ③与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的个数有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 (1)D　(2)D　解析：(1)分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确． (2)如图所示为y＝cos x的图象． 可知三项描述均正确． (1)解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确地画出正、余弦曲线． (2)正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． [练1] (多选)(2023·河南郑州高一期末)关于三角函数的图象，下列说法正确的是(　　) A．y＝sin |x|与y＝sin x的图象关于y轴对称 B．y＝cos (－x)与y＝cos |x|的图象相同 C．y＝|sin x|与y＝sin (－x)的图象关于x轴对称 D．y＝cos x与y＝cos (－x)的图象关于y轴对称 BD　解析：对B，y＝cos (－x)＝cos x，y＝cos |x|＝cos x，故其图象相同；对D，y＝cos (－x)＝cos x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知AC均不正确． 知识点二　“五点(画图)法”画函数图象 如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图？ “五点(画图)法” 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0) (0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1) [例2] 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π). 解：(1)①取值列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 ②描点连线，如图所示． (2)①取值列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1＋cos x 0 －1 －2 －1 0 ②描点连线，如图所示． 作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)x∈[0，2π]的图象的三个步骤 [练2] 利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：(1)取值列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 (2)描点连线，如图所示． 综合应用：正、余弦函数图象的简单应用 [例3] 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围． 解：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ 图象如图所示． 若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则由图象可得k的取值范围是(1，3). (1)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． (2)判断方程解的个数，或由方程解的个数确定参数的取值范围，可利用图象解题，当方程含有正、余弦