5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式 学习目标 1．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式． 2．会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 知识点　两角和与差的正弦、余弦公式 1．怎样根据两角差的余弦公式：cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β得到两角和的余弦公式？ 2．你能根据公式C(α±β)和诱导公式推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin (α＋β)，sin(α－β)的公式吗？ 1．两角和的余弦公式 公式 cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β 简记符号 C(α＋β) 使用条件 α，β都是任意角 2.两角和与差的正弦公式 内容 两角和的正弦 两角差的正弦 简记符号 S(α＋β) S(α－β) 公式形式 sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”； (2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序． 角度1　给角求值问题 [例1] (1)已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin (α＋)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ (2)求值：(tan 10°－). (1)C　解析：因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin α＝，cos α＝－，所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋(－)×＝. (2)解：原式＝(tan 10°－tan 60°)＝(－)·＝·＝－2. 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． [练1] 化简求值： (1)； (2)sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°). 解：(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin (α＋60°)＋cos (α＋30°)－cos α＝(sin α＋cos α)＋(cos α－sin α)－cos α＝0. 角度2　给值求值问题 [例2] 已知＜β＜α＜，cos (α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值． 解：(1)∵cos (α－β)＝＞0，＜β＜α＜， ∴0＜α－β＜，sin (α－β)＝. 又sin (α＋β)＝－，π＜α＋β＜，∴cos (α＋β)＝－. ∴sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝－×－×＝－. 给值求值的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法如下： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． [练2] 已知<β<α<π，cos (α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值． 解：∵<β<α<π，∴－π<－β<－. ∴0<α－β<，π<α＋β<π. ∴sin (α－β)＝＝＝， cos(α＋β)＝－＝－＝－. ∴cos2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos (α－β)cos (α＋β)－sin(α－β)sin (α＋β)＝×(－)－×(－)＝－， 即cos 2α＝－. 角度3　给值求角问题 [例3] 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________． 答案：　解析：∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝. [变式探究] 若本例中sin α＝，其余条件不变，求α－β的值． 解：因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝， 所以cos α＝，sin β＝， 所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－. 又因为α，β均为锐角，所以－<α－β<， 故α－β＝－. 解决给值(式)求角问题的方法 解决此类题目的关键是